Converso del teorema del bisector del ángulo exterior

Question

¿Cómo probar el siguiente teorema? En el triángulo ABC, el punto P divide la extensión de la línea AB en la siguiente proporción AP:BP=AC:BC. Demuestra que la línea CP es el bisector del ángulo exterior C. Es posible una solución trigonométrica.

Answer 1

$\mathrm{Fig. 1}$ muestra el triángulo $ABC$ y la línea $CP$ mencionada en tu pregunta. Necesitamos trazar la línea $BD$ paralela a $PC$ para facilitar nuestra prueba. Podemos escribir de inmediato, $$\frac{AP}{BP}=\frac{AC}{CD}. \tag{porque PC $\backslash\backslash$ BD}$$ Pero se nos da que, $$\frac{AP}{BP}=\frac{AC}{BC}.$$ Por lo tanto, $$\frac{AC}{CD}=\frac{AC}{BC},$$ lo que significa que $CD=BC$. Eso hace que $BCD$ sea un triángulo isósceles y, como consecuencia, $$\measuredangle DBC=\measuredangle CDB.\tag{1}$$ Porque son ángulos alternos, los dos ángulos $\measuredangle BCP$ y $\measuredangle DBC$ son iguales, es decir, $$\measuredangle PCB=\measuredangle DBC.$$ Los dos ángulos $\measuredangle ECP$ y $\measuredangle CDB$ son ángulos correspondientes. Eso también los hace ángulos iguales, es decir, $$\measuredangle ECP =\measuredangle CDB.$$ Finalmente, debido a la similitud observada en la ecuación (1), tenemos, $$\measuredangle PCB =\measuredangle ECP.$$

$\underline{Nota}$:
Podrías haber consultado un buen libro de geometría elemental para esta prueba, ya que suelen proporcionar las pruebas del teorema del bisector del ángulo exterior y su conversa lado a lado bajo el título $Euclides\space VI\space 3$. Si hubieras hecho eso, podrías haber evitado esta espera de varios días.