Aditividad de la clasificación de curvas elípticas sobre el compositum de campos

Question

Supongamos que BSD se cumple para campos numéricos. Sea $E/\mathbf{Q}$ una curva elíptica. Para simplificar, asumamos que tiene rango Mordell-Weil cero. Sean $F_1/\mathbf{Q}$ y $F_2/\mathbf{Q}$ extensiones finitas, abelianas y disjuntas, y sea $F=F_1.F_2$ su compositum.

Pregunta: ¿Bajo qué condiciones podemos concluir que $$ \mathrm{rank}_{\mathbf{Z}}(E/F)=\mathrm{rank}_{\mathbf{Z}}(E/F_1) + \mathrm{rank}_{\mathbf{Z}}(E/F_2) ?$$

En otras palabras, ¿existen condiciones suficientes para asegurar que cualquier crecimiento en el rango de Mordell-Weil en $F$ en realidad surge en $F_1$ o $F_2$?

Por un lado, esto parece ser demasiado bueno para ser verdad. Por otro lado, si asumimos BSD para campos numéricos, parece que deberíamos ser capaces de hacer un argumento usando la factorización de las funciones $L$ de la siguiente manera:

Sea $\mathrm{Gal}(F_1/\mathbf{Q})=G_1$ y $\mathrm{Gal}(F_2/\mathbf{Q})=G_2$. Dado que $F_1 \cap F_2 = \mathbf{Q}$, tenemos que $\mathrm{Gal}(F/\mathbf{Q})=G_1 \times G_2$. Usando $^\hat{}$ para denotar grupos de caracteres, parece que deberíamos tener \begin{align*} L(E, F, s) &= \prod_{\chi\in \hat{G}} L(E, \mathbf{Q}, s, \chi)\\ &\simeq \prod_{\chi_1\in \hat{G_1}}\prod_{\chi_2\in \hat{G_2}} L(E, \mathbf{Q}, s, \chi_1 \chi_2)\\ &=L(E, F_1, s)\times L(E, F_2, s) \times\prod_{\substack{\chi_1\in \hat{G_1} \\ \chi_1\neq 1}}\prod_{\substack{\chi_2\in \hat{G_2} \\ \chi_2\neq 1}} L(E, \mathbf{Q}, s, \chi_1 \chi_2) \end{align*} donde los productos se toman sobre los caracteres irreducibles. Por lo tanto, obtenemos la aditividad deseada si podemos controlar los términos de la forma $L(E, \mathbf{Q}, s, \chi_1 \chi_2)$.

¿Existen algunas hipótesis que nos lleven a la meta?

---

Editar: Ariel Weiss ha publicado una respuesta que destaca la siguiente situación: $$E=X_0(11), F_1=\mathbf{Q}(\sqrt{-7}), F_1=\mathbf{Q}(\sqrt{-8}), F=\mathbf{Q}(\sqrt{-7},\sqrt{-8})$$ Entonces tenemos

$$\mathrm{rank}_{\mathbf{Z}}(E/\mathbf{Q})=0, \mathrm{rank}_{\mathbf{Z}}(E/F_1)=1, \mathrm{rank}_{\mathbf{Z}}(E/F_2)=1, \mathrm{rank}_{\mathbf{Z}}(E/F)=2$$ Esto es precisamente el tipo de situación que busco capturar en general.

Answer 1

Es bastante fácil encontrar contraejemplos.

Por ejemplo, toma una curva elíptica $E/\mathbb Q$ de rango 0, y elige dos torciones cuadráticas, $E_{d}, E_{d'}$ de rango 1. Por consideraciones del número de raíces, $E_{dd'}$ tiene rango par, así que probablemente tiene rango $0$. Por ejemplo, podrías tomar $E = X_0(11)$, $d = -7$, $d' = -8$.

Entonces $E(\mathbb Q(\sqrt{dd'})$ tiene rango 0 y $E(\mathbb Q(\sqrt{d})$ tiene rango 1. Pero $E(\mathbb Q(\sqrt d, \sqrt{d'})$ tiene rango al menos $2$, con el punto adicional de orden infinito proveniente de $E(\mathbb Q(\sqrt{d'})$, que también tiene rango $1$.

En tu ejemplo de BSD, la función L de $E$ sobre $\mathbb Q(\sqrt d, \sqrt{d'})$ se factoriza como $$L(E, s)L(E_d, s)L(E_{d'}, s)L(E_{dd'}, s),$$

Aquí, el factor L extra $L(E, \mathbb Q, s, \chi_1\chi_2)$ está midiendo la contribución al rango desde alguna otra subextensión del compositum de $F_1$ y $F_2$.

Este tipo de argumento funciona más generalmente bajo tus suposiciones de que $F_1, F_2$ son Galois. Así que de alguna manera, tu suposición necesita ser que ninguna otra subextensión de $F_1\cdot F_2$ contribuye al rango.