¿Cómo demostrar la fórmula para el argumento de un número complejo?

Question

$\arg(x + iy) = 2 \cdot \arctan(\dfrac{y}{x + r})$ siempre está la marca, esto se deriva de la 'fórmula del ángulo medio'

¿Cómo puedo llegar de $\tan(\phi) = \tan(\phi + k \pi) = \dfrac{y}{x}$ a $\phi = \arg(x + iy)$?

Answer 1

Mira la siguiente figura

$\hspace4cm$

Claramente ${\rm Arg}(z)=2\theta=2\arctan\dfrac{y}{x+r}$. Nota que esto da la determinación principal del argumento de $z\in\mathbb{C} \setminus((-\infty,0]\times\mathbb{R})~$.