Si $S$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$, $p \in S$, $q \notin S$, entonces hay un punto de límite de $S$ en el segmento de línea que une $p$ y $q$.

Question

Estoy tomando cálculo de segundo año en mi universidad, y nos pidieron que probáramos esto:

Sea $S$ un conjunto abierto en $\mathbb{R}^n$ y $p \in S$ y $q \notin S$. Demuestra que un punto frontera de $S$ está en el segmento de línea que une $p$ y $q$.

Sé que es obvio, pero parece que no puedo probar realmente este resultado. Estoy en un curso algo básico, así que sé algunas cosas: conexidad y desconexidad, cómo usar bolas en un conjunto abierto, qué es un punto de acumulación, pero algunos de los términos topológicos más rigurosos pueden ser desconocidos.

Answer 1

Pista: Considera el número real $t^*=\sup\{t\in[0,1]\mid tq+(1-t)p\in S\}$ y el punto $p^*=t^*q+(1-t^*)p$.