Encontrar la función seno sin el mínimo dado

Question

Recientemente, para un proyecto de matemáticas de grado 11 en la escuela, recopilé datos, los cuales sabía que tomaban la forma de un gráfico de seno, pero los valores que experimenté para encontrar fueron elegidos al azar. Con los datos recopilados, obtuve el punto máximo, pero no incluí el punto mínimo. ¿Hay alguna manera de encontrar una ecuación de regresión del seno si no se muestra el mínimo?

Answer 1

Dado $n$ puntos de datos $(x_i,y_i)$ de una onda seno significa ajustar el modelo $$y=A+B\sin(Cx+D)$$ y es una tarea bastante difícil (busca en Google ajuste de onda seno).

Desde un punto de vista práctico, es más fácil expandir el término seno y considerar en su lugar $$y=a+b\sin(cx)+d\cos(cx)$$ Teniendo en cuenta que tus $x_i$ están dados en grados, prefiero reescribir el modelo como $$y=a+b \sin \left(c\frac{\pi x}{180}\right)+d \cos \left(c\frac{\pi x}{180}\right)$$ Este problema es no lineal (debido al parámetro $c$). Si $c$ fuera conocido, sería simplemente una regresión multilínea fácil de hacer.

Entonces, por el momento, asigna un valor a $c$; para este valor, calcula $a,b,d$ y la suma de los cuadrados $SSQ$ (todo eso se puede hacer fácilmente usando Excel). Ahora, grafica $SSQ$ como función de $c$ y localiza su mínimo. Una vez hecho, tendrás todas las estimaciones necesarias para la regresión no lineal para un ajuste fino de los parámetros.

Usando los datos que proporcionaste, $c=4.5$ parece ser un buen candidato. Usando este valor y los correspondientes valores de $a,b,d$ obtenidos por la regresión multilínea preliminar, una regresión no lineal dará $$a=34.442 \qquad b=6.987 \qquad c=4.526 \qquad d=8.002$$ Para estos valores, la tabla a continuación reproduce tus datos y los valores predichos de la regresión $$\left( \begin{array}{ccc} x & y & \text{predicho} \\ 90 & 48.88 & 45.003 \\ 68 & 33.98 & 33.820 \\ 41.2 & 26.58 & 25.704 \\ 33.2 & 30.72 & 30.960 \\ 20.4 & 38.59 & 41.098 \\ 0 & 40.28 & 42.445 \end{array} \right)$$ lo cual no es fantástico incluso si $R^2=0.9968$ parece ser bastante bueno.

Ahora, tomando la derivada de $y$ con respecto a $x$ $$y'=\frac{\pi c}{180} \left(b \cos \left(c\frac{\pi x}{180}\right)-d \sin \left(c\frac{\pi x}{180}\right)\right)$$ y resolviendo la ecuación trigonométrica $$b \cos \left(c\frac{\pi x}{180}\right)-d \sin \left(c\frac{\pi x}{180}\right)=0 \implies x=\frac{180 }{\pi c}\tan ^{-1}\left(\frac{b}{d}\right)$$ da como resultado $y_{max}=45.066$ en $x=88.63 ^{\circ}$ y $y_{min}=23.819$ en $x=48.86 ^{\circ}$.