¿Por qué es $\sum_{i,\:j\:\in\:I}\cos(2\pi\langle k,x_i-x_j\rangle)$ pequeño para valores pequeños de $k$ cuando los $x_i$ tienen una distancia mínima entre ellos?

Question

Sea $I$ un conjunto finito no vacío, $(x_i)_{i\in I}\subseteq[0,1)^2$ y $$f(k):=\sum_{i\in I}e^{-{\rm i}2\pi\langle k,\:x_i\rangle}\;\;\;\text{para }k\in\mathbb Z^2.$$

Supongamos que $x_i\ne x_j$ para todo $i,j\in I$ con $i\ne j$. Quiero elegir $(x_i)_{i\in I}$ de manera que estén "uniformemente" distribuidos en $[0,1)^2$, pero al mismo tiempo satisfagan que $|f(k)|$ sea "pequeño" siempre que $|k|$ sea "pequeño". ¿Cuál sería una condición adecuada para asegurar lo último?

Por ejemplo, he leído que lo último se cumple cuando los $x_i$ tienen una distancia mínima adecuada entre ellos. Pero, ¿cómo vemos esto? Claramente, $$|f(k)|^2=\sum_{i,\:j\:\in\:I}\cos\left(2\pi\langle k,x_i-x_j\rangle\right)\tag1,$$ ¿pero cómo vemos la propiedad deseada a partir de esta expresión?

Consideremos el caso trivial de una cuadrícula regular: Sean $m,n\in\mathbb N$ y supongamos que $$x_{ij}=\left(\frac{i+\frac12}m,\frac{j+\frac12}n\right)\;\;\;\text{para todo }(i,j)\in I:=\{0,\ldots,m-1\}\times\{0,\ldots,n-1\}.$$ Para $m=n=64$ y $k\in\{-256,\ldots,255\}^2$ un gráfico de $|f(k)|^2$ se ve así:

Los puntos blancos corresponden a los puntos $x_i$. Y para todos los demás $k$, el valor de $|f(k)|^2$ es $0$. ¿Pero cómo vemos esto analíticamente?

Answer 1

Establezca $k=(k_1,l_2)$. Entonces $$\langle k,x_{i,j} \rangle = k_1\frac{2i+1}{m} + k_2\frac{2j+1}{m}.$$ Aplicando la función $t \mapsto e^{-i2\pi t}$, se obtiene el producto de una función de $i$ por una función de $j$.

Por lo tanto, la doble suma sobre $i,j$ se divide en el producto de una suma sobre $i$ por una suma sobre $j$. Ambas sumas son sumas geométricas y se pueden calcular explícitamente (separando los casos donde $k_1 = 0$ o $k_2=0$).