Demostrando un límite de una función

Question

Sea $h:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ una función y $\alpha\in\mathbb R\backslash\{0\}$.

Quiero demostrar que si $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{h(x)}{x}=c$ entonces $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{h(\alpha x)}{x}=\alpha c$.

He intentado definir $\xi(x):=\frac{h(x)}{x}$ y entonces $\xi(\alpha x)=\frac{h(\alpha x)}{\alpha x}$ lo cual es equivalente a $\alpha\cdot \xi(\alpha x)=\frac{h(\alpha x)}{x}$.

Entonces, $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{h(\alpha x)}{x}=\alpha\cdot\lim_{x\rightarrow 0}\xi(\alpha x)$.

Pero ahora estoy atascado. ¿Alguien podría ayudar? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Sea $\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}=c$. Entonces $$\lim_{x\to0}\frac{h(\alpha x)}{x}=\alpha\lim_{x\to0}\frac{h(\alpha x)}{\alpha x}=\alpha\lim_{u\to0}\frac{h(u)}{u}=\alpha c.$$ Note la sustitución $u=\alpha x$.

Answer 2

Teorema: Sea $f:X\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}$,$g:f(X)\to \mathbb{R}$ sean dos funciones tales que $$\lim_{x\to x_0}f(x)=y_0\in f(X)$$ Si $f(x)\neq y_0$ cerca de $x_0$ (pero no necesariamente en $x_0$) y $$\lim_{y\to y_0}g(y)=\ell$$ entonces, $$\lim_{x\to x_0}(g\circ f)(x)=\ell$$

¿Puedes aplicarlo en este caso? ¿Qué funciones serían tus $f,g$ y cuál sería tu $x_0$?