¿Cuál es el dominio de soporte de la función de luminosidad de Schechter?

Question

Estoy tratando de ajustar una función de luminosidad de Schechter a algunos puntos de datos, pero no está claro a partir de esta definición cuál debería ser el dominio de soporte de la función de densidad de probabilidad. Estoy familiarizado con la distribución estándar de Pareto

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_0}\left(\frac{x}{x_0}\right)^{-\alpha}$$

que es distinta de cero en $[x_0,\infty)$.

La función de Schechter tiene una forma similar (usando convenciones ligeramente diferentes al artículo de Wikipedia):

$$p(x) \propto e^{-\frac{x}{x_0}}\left(\frac{x}{x_0}\right)^{-\alpha}$$

¿Alguien puede confirmar que esta distribución tiene el mismo soporte que una distribución estándar de Pareto? No estoy seguro de cómo normalizarla, y el artículo de Wikipedia no ofrece muchos detalles.

Answer 1

Primero, es importante entender que esto está peligrosamente cerca de la numerología en astronomía. Los astrónomos querían, por cualquier razón, tener una forma funcional muy "simple" para la distribución de las luminosidades de las galaxias, y así, por supuesto, si miras lo suficientemente de cerca (o incluso no tan cerca como podría ser el caso), los datos reales nunca encajarán muy bien en esta forma, especialmente en un rango grande de luminosidades.

En cuanto al soporte, técnicamente es $(0,\infty)$ en luminosidad $L$ (la variable $x$ del OP). Usando una notación más común, escribiré la función Schechter como $$ \Phi(L) = \frac{n_0}{L^*} \left(\frac{L}{L^*}\right)^\alpha \mathrm{e}^{-L/L^*}, $$ donde $\Phi(L)$ mide la densidad numérica por unidad de volumen por unidad de luminosidad de galaxias con luminosidad $L$ y mi $n_0$ es el $\Phi^*$ de algunos autores, pero esto hace que $\Phi$ y $\Phi^*$ tengan unidades diferentes. Rápidamente se ve un problema con la normalización dependiendo de $\alpha$. Si $\alpha \leq -1$, entonces $$ \int_0^{L_\text{max}} \Phi(L)\ \mathrm{d}L $$ diverge para cualquier $L_\text{max}$, indicando un número infinito de galaxias (casi todas muy tenues) por unidad de volumen. Los ajustes a datos reales a menudo tienen $\alpha$ cerca de este régimen, por lo que el problema no es meramente académico.

Por supuesto, como se señala en el artículo original de Schechter, $$ \int_0^\infty L \Phi(L)\ \mathrm{d}L = n_0 L^* \Gamma(\alpha+2) $$ para $\alpha > -2$, por lo que la densidad de luminosidad sigue siendo finita para valores razonables de $\alpha$.

Cuando se ajustan los datos, hay que tener en cuenta que la discrepancia suele ser lo suficientemente mala dentro de dos o tres (magnitudes) astronómicas de $L^*$ para que estos puntos de datos a menudo no se incluyan en el ajuste. Supongo que también se podría utilizar una función de ponderación suave que quite peso a estos puntos según su proximidad a $L^*$.

En resumen: La normalización está ligada a la densidad real de galaxias en la muestra, que en algunos casos puede ser infinita.

Answer 2

El soporte de la distribución de Pareto puede determinarse requiriendo que se normalice a 1:

$$\int_{x_\text{min}}^\infty p(x)\mathrm{d}x = \int_{x_\text{min}}^\infty \frac{\alpha - 1}{x_0}\biggl(\frac{x}{x_0}\biggr)^{-\alpha}\mathrm{d}x = \biggl(\frac{x_\text{min}}{x_0}\biggr)^{1 - \alpha} = 1$$

lo que te da $x_\text{min} = x_0$. Por lo tanto, podrías aplicar el mismo razonamiento a la función de luminosidad:

$$\int_{x_\text{min}}^\infty p(x)\mathrm{d}x = \int_{x_\text{min}}^\infty Ce^{-\frac{x}{x_0}}\biggl(\frac{x}{x_0}\biggr)^{-\alpha}\mathrm{d}x = Cx_0\Gamma\biggl(1 - \alpha, \frac{x_\text{min}}{x_0}\biggr) = 1$$

donde $\Gamma$ es la función gamma incompleta superior y $C$ es la constante de normalización de tu función de luminosidad. Tendrías que resolver esta ecuación para $x_\text{min}$, lo cual se puede hacer numéricamente utilizando cualquiera de varios algoritmos de búsqueda de raíces o una implementación de la función gamma incompleta inversa; o podrías usar un algoritmo de ajuste de mínimos cuadrados para que esta forma funcional coincida con tus datos y así determinar tanto $C$ como $x_\text{min}$.