No hay ningún número racional de $r^2=2$

Question

La prueba convencional de contradicción para: $\nexists$ $r \in \mathbb{Q}$ tal que $r^2=2$

Vi la prueba de contradicción y estoy un poco confundido. En la prueba sugiere que el número racional no tiene factores comunes. Lo que me confunde es que podría existir una fracción que no esté completamente reducida, incluso si la prueba asumió que existía una fracción no completamente reducida, esto no implica para mi que no exista una fracción no completamente reducida. ¿Alguien puede aclarar esto para mí?

Answer 1

Supongamos que $\displaystyle \frac{m}{n}=r=\frac{p}{q}$, para algunos enteros $m, n, p, q$ y $r\in \mathbb{Q}$.

Supongamos que $\displaystyle \frac{m}{n}$ está completamente reducida y $\displaystyle \frac{p}{q}$ no lo está.

Cualquier cosa que digas sobre $\displaystyle \frac{m}{n}$ también puedes decirlo sobre $\displaystyle \frac{p}{q}$ porque son $\textbf{iguales}$.

Incluso si tu intuición de alguna manera te engaña pensando que suponer que tomar la fracción en su forma irreducible no proporciona una prueba completa, la demostración debe ser válida porque $\displaystyle \frac{m}{n}=\frac{p}{q}$.

Edición: Uno podría argumentar: "espera un momento, puedes decir que $\frac{m}{n}$ está completamente reducida, pero no puedes decir lo mismo sobre $\frac{p}{q}$ aunque sean iguales". La falacia en este argumento radica en el hecho de que decir que $\frac{m}{n}$ está completamente reducida y que $\frac{p}{q}$ no lo está, no es una afirmación sobre las fracciones. Es una afirmación sobre los pares ordenados $(m, n)$ y $(p, q)$ porque decir que $\frac{m}{n}$ está completamente reducida es simplemente abreviar $\gcd(m, n)=1$ (excepto cuando alguno de ellos es $0$). Además, tu pregunta de hecho era una pregunta sobre las fracciones, por lo que no hay confusión aquí.

Answer 2

Si existe una fracción no totalmente reducida, debe existir una forma reducida de dicha fracción. La prueba muestra que no hay ninguna fracción totalmente reducida y, implícitamente, ninguna fracción no totalmente reducida podría existir porque tendría que ser igual a una fracción totalmente reducida que no puede existir.

Es un concepto divertido con el que jugar y resulta que para que exista un número así, $$\color{Teal} {\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}} \color{orchid}{\frac{2^{an}b}{2^{cn}}}$$ para algunos enteros $a$, $b$ y $c$. Sin embargo, esto no tiene sentido aunque es un concepto divertido con el que jugar.

Answer 3

Considere la fracción $\frac{a}{b}$, $b>0$. Entonces existen enteros $c,d$ con $d>0$, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, y $c$ y $d$ son primos entre sí.

Suponga, para contradicción, que esto no es cierto para algunos $a,b$. Sea $S$ el conjunto de enteros positivos $d$ para los cuales existe un $c$ con $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Como $b\in S$, $S$ no está vacío, y por lo tanto tiene un elemento mínimo $d_0$, tal que para algún entero $c_0$, $\frac{a}{b}=\frac{c_0}{d_0}$. Por suposición $c_0$ y $d_0$ no son primos entre sí, y por lo tanto $c_0 = kc_1$ y $d_0 = kd_1$ para $k>1$. En particular, $0

Entonces si existe un número racional igual a $\sqrt{2}$, también debe existir un número racional en términos más bajos igual a $\sqrt{2}$.