¿Cuántos pares de enteros positivos $(a, b)$ existen tal que $a$ y $b$ no tengan ningún factor común mayor que $1$ y $\frac{a}{b} + \frac{14b}{a}$ sea un entero?
El problema que enfrento en esta pregunta es si hay algún método algebraico o abreviado para encontrar los pares. De lo contrario, lo he hecho por Ensayo y Error pero consume mucho tiempo.
Estás buscando enteros coprimos $a$ y $b$ para los cuales $$\frac{a}{b}+14\frac{b}{a}=\frac{a^2+14b^2}{ab},$$ es un entero. Entonces $b$ divide a $a^2$, y así $b=1$ porque $\gcd(a,b)=1$. Ahora lo anterior se reduce a $$\frac{a^2+14}{a},$$ que es un entero si y solo si $a$ divide a $14$, es decir $a\in\{1,2,7,14\}$.
Sea $\,x = a/b.\,$ $\,x+14/x = n\,$ entonces $\, x^2\!-nx+14 = 0\,$ por lo tanto $\ b\mid1,\,a\mid 14\,$ vía Prueba de la raíz racional.
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