Cómo demostrar $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$

Question

Me dieron esta ecuación: $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$

Quiero probarlo: lo que hice fue

Tomé cualquier $a \in f^{-1}(B_1 \cap B_2)$, luego hay un $b \in (B_1 \cap B_2)$ tal que $f(a)=b$. Debido a que $b \in (B_1 \cap B_2)$, es cierto que $b \in B_1$ y $b \in B_2$, entonces $a \in f^{-1}(B_1)$ y $a \in f^{-1}(B_2).

esto significa que $f^{-1}(B_1 \cap B_2) \subseteq f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2).

¿Está bien?

Answer 1

Aquí está básicamente la primera respuesta, escrita de manera un poco más formal.

Comencemos con la propiedad básica de $\;f^{-1}[\cdot]\;$: $$ a \in f^{-1}[B] \;\equiv\; f(a) \in B $$ para cualquier $\;a,B\;$. Usando esto, podemos calcular simplemente \begin{align} & a \in f^{-1}[B_1 \cap B_2] \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"la propiedad básica anterior"} \\ & f(a) \in B_1 \cap B_2 \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"definición de $\;\cap\;$"} \\ & f(a) \in B_1 \;\land\; f(a) \in B_2 \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"la propiedad básica anterior, dos veces"} \\ & a \in f^{-1}[B_1] \;\land\; a \in f^{-1}[B_2] \\ \equiv & \;\;\;\;\;\text{"reintroducir $\;\cap\;$ usando su definición"} \\ & a \in f^{-1}[B_1] \cap f^{-1}[B_2] \\ \end{align> Por extensionalidad de conjuntos, se sigue la afirmación en cuestión.

Answer 2

Sí...esto puede ser escrito de hecho de esta manera;

$a\in f^{-1}(B_1\cap B_2)$, significa $f(a)\in B_1\cap B_2$ y así $f(a)\in B_1$ y $f(a)\in B_2$. Por lo tanto, $a\in f^{-1}(B_1)$ y $a\in f^{-1}(B_2)$