Funciones suaves o continuas

Question

¿Qué queremos decir cuando decimos que una función es suave? ¿Hay alguna diferencia entre una función suave y una función continua? Si son lo mismo, ¿por qué a veces decimos que f es suave y otras veces que f es continua?

Answer 1

Que una función sea suave es en realidad un caso más fuerte que una función sea continua. Para que una función sea continua, simplemente debe cumplir con la definición de continuidad de épsilon delta, por lo que no hay cortes ni agujeros en la función (en el caso de 2 dimensiones). Para que una función sea suave, debe tener derivadas continuas hasta cierto orden, digamos k. Decimos que la función es suave $C^{k}$. Un ejemplo de una función continua pero no suave es el valor absoluto, que es continuo en todas partes pero no es diferenciable en todas partes.

Answer 2

Una función suave es diferenciable. Generalmente infinitas veces.

Answer 3

Continuo no implica suavidad, pero no al revés. Hay funciones que son continuas en todas partes, pero en ningún lugar son diferenciables.

Answer 4

Lleva $f(x) = x|x|$ es suave, y ahora considera $g(x) = x^3$, esta otra función también es suave. Sin embargo, $g(x)$ es mucho más suave que $f(x)$ porque la derivada de $f(x)$. Se puede argumentar que $g(x)$ es suave infinitamente muchas veces. Todos los polinomios pertenecen a $C^\infty$ lo que significa que son diferenciables infinitamente muchas veces y son suaves.

Sin embargo, $h(x) = |x|$ no es suave, porque tiene una esquina. Ten en cuenta que las tres funciones, $f(x)$, $g(x)$, y $h(x)$ son continuas.

Así es como se ve $f(x)$:

Así es como se ve la derivada de $f(x)$:

Así es como se ve la segunda derivada de $f(x)$, como puedes ver su segunda derivada ni siquiera es continua:

Así es el gráfico de $g(x)$:

Así es el gráfico de $\frac{d f(x)}{dx} = 3x^2$:

Así es el gráfico de $\frac{d^2 g(x)}{dx^2} = 6x$:

Answer 5

Una función suave es una función que tiene derivadas continuas hasta cierto orden deseado sobre algún dominio. Por lo tanto, se puede decir que una función es suave sobre un intervalo restringido como [a, b]. El número de derivadas continuas necesarias para que una función sea considerada suave depende del problema en cuestión y puede variar de dos a infinito. Una función para la cual todos los órdenes de derivadas son continuos se llama una función C-infty.