Esto sigue de hecho de un teorema bastante directo sobre complejos de cadenas. Para ser completos, definiré todo lo que se usa aquí. Todo en esta respuesta se puede encontrar en el libro de Weibel sobre álgebra homológica.
Sea $f:B\to C$ un mapa de complejos de cadenas. Definimos el cono de mapeo de $f$ como el complejo de cadenas denotado por $\mathrm{cono}(f)$ cuya parte de grado $n$ es $\mathrm{cono}(f) = B_{n-1}\oplus C_n$ y cuyo mapa de borde está dado por la fórmula $$d_{\mathrm{cono}(f)}:(b,c)\mapsto (-d_B(b),d_C(c)-f(b)).$$ Para cualquier cono de mapeo de este tipo existe una secuencia exacta corta de complejos $$0\rightarrow C\rightarrow \mathrm{cono}(f)\rightarrow B[-1]\rightarrow 0$$ donde el primer mapa es $c\mapsto (0,c)$ y el segundo mapa es $(b,c)\mapsto -b$ (recordemos que el mapa de borde de $B[-1]$ es $-d_B$). El teorema al que me refiero es el siguiente:
Teorema. Sea $f:B\to C$ un mapa de complejos de cadenas. Entonces, para la secuencia exacta larga asociada en homología, el homomorfismo de conexión $\partial:H_{n+1}(B[-1])=H_n(B)\to H_n(C)$ es simplemente $f_*,$ el mapa inducido en homología por $f.$
Prueba. Si $b\in B[-1]_{n+1}=B_n$ es un ciclo, entonces $(-b,0)$ eleva $b$ a $\mathrm{cono}(f)$ en la secuencia exacta corta de complejos. Aplicar el borde aquí nos da $d_{\mathrm{cono}(f)}(-b,0)=(d_B(b),f(b))=(0,f(b))$ que es simplemente la imagen de $f(b)$ bajo el mapa $C\to\mathrm{cono}(f).$ Por lo tanto, $\partial [b]=[f(b)]=f_*[b].$
En tu pregunta parece haber algo de confusión sobre la definición del homomorfismo de conexión, así que repasemos esto nuevamente. La definición del homomorfismo de conexión es simplemente esta: tomar un ciclo en $B[-1],$ elevarlo a $\tilde b$ en $\mathrm{cono}(f)$ (lo cual podemos hacer ya que el mapa es sobreyectivo), luego tomar su borde $d_{\mathrm{cono}(f)}\tilde b$ en $\mathrm{cono}(f).$ Lo que obtengamos necesariamente terminará en la imagen de $C\to\mathrm{cono}(f)$ así que podemos nuevamente regresar a $c\in C.$ Resulta que $c$ tiene que ser un ciclo, por lo que nos da una clase de homología $[c].$ Luego definimos $\partial [b]=[c].$ Se puede comprobar que esto es independiente del representante $b$ y todas esas cosas buenas. En la prueba simplemente seguimos esta definición (con algunas elecciones convenientes de elevaciones) para obtener que en nuestro caso $\partial = f_*.$
Vale, esto es genial y todo, pero ¿cómo se aplica esto a tu pregunta? Bueno, si se busca lo suficiente, los conos de mapeo comenzarán a aparecer por todas partes aquí. En particular, $C$ está compuesto por objetos libres, por lo que obtenemos descomposiciones $C_n=B_{n-1}\oplus Z_n.$ Esto se parece a un cono de mapeo de $i:B[-1]\to Z$, y de hecho lo es. Si dejamos que $\pi:C\to B[-1]$ sea el mapa evidente entonces podemos definir $C_n\to \mathrm{cono}(i)_n$ por $c\mapsto ((-1)^nd(c),c-\pi(c)).$ Verificamos que esto es un mapa de cadenas y un isomorfismo, por lo tanto $C\cong \mathrm{cono}(i).$ Incluso podemos verificar con un poco más de trabajo que $C\otimes D\cong \mathrm{cono}(i\otimes 1_D).$ Una vez que hacemos esto, simplemente aplicamos el teorema a la secuencia exacta corta en cuestión para obtener que el homomorfismo de conexión debe ser $(i\otimes 1_D)_*.
