Demuestra que $n+1$ vectores en $\mathbb{R}^n$ no pueden ser linealmente independientes

Question

Estaba buscando una demostración breve y llamativa sobre la siguiente afirmación:

n+1 vectores en $\mathbb{R}^n$ no pueden ser linealmente independientes

Un estudiante me preguntó esto esta mañana y no pude encontrar una demostración únicamente a partir de la definición de independencia lineal.

Desde una perspectiva más elevada, expliqué que si pongo los vectores en una matriz y la única entrada de espacio nulo es el vector cero, entonces los vectores son independientes, pero como tenemos una columna más que fila y la fila y columna tienen el mismo rango, no hay forma de que tengamos $n+1$ como el rango de la matriz y, por lo tanto, a partir del Teorema de Rango-Nulidad, la dimensión del espacio nulo es al menos uno, lo que implica que hay una combinación de los vectores donde no todos los múltiplos escalares en la definición son 0 pero aún así obtenemos un cero como la combinación lineal. El estudiante aún no ha aprendido completamente los subespacios fundamentales, así que no estoy seguro de si captó lo que estaba diciendo.

¿Hay una demostración más clara?

EDIT: Estoy asombrado por la cantidad de respuestas maravillosas que recibí con tanta diversidad.

Answer 1

La dimensión del espacio es n. Por definición de la dimensión de un espacio vectorial, el conjunto de vectores de base para el espacio es n. Es un teorema bien conocido que cualquier conjunto de m>n vectores es linealmente dependiente. Esto se debe a que es posible expresar el conjunto con m vectores como una combinación lineal de otros vectores.

Answer 2

Si hay $n+1$ vectores linealmente independientes en un espacio vectorial $V$, entonces $\operatorname {dim}V\ge n+1$.

Pero, como es bien sabido, $\operatorname {dim}\Bbb R^n=n$.

El resultado sigue.

(Quizás ver la clásica Teoría de la Dimensión de Hurewicz y Wallman.)