Convergencia débil-* y operadores de clase traza

Question

Estoy leyendo una prueba de Barry Simon, y él hace una afirmación equivalente a la siguiente:

Deja que $X$ sea el espacio de operadores compactos sobre un espacio de Hilbert $H$. Deja $\{y_n\}_n$, $y_n>0$, sea una secuencia acotada en el espacio dual $X'$ de operadores de clase traza sobre $H$. (De hecho, tenemos $1 \leq tr(y_n) \leq g < +\infty$.) Por Banach-Alaoglu, existe una subsecuencia convergente débilmente-* $\{y_n'\}$, es decir, existe $y\in X'$ tal que para todo $A\in X$, $tr(Ay_n')\rightarrow tr(Ay).

Esto está bien. Entonces él afirma, y esto no entiendo: "Claramente, $y \geq 0$ y por lo tanto $\liminf_n tr(y_n) \geq tr(y)."

¿Cómo se puede concluir fácilmente que $y \geq 0$, y cómo se sigue fácilmente la desigualdad del liminf? ¿Qué me estoy perdiendo? No está claro en el texto si él considera la subsecuencia convergente débilmente-* en la afirmación citada.

Cuando intento hacer mi propio argumento, se vuelve mucho más fuerte y complicado:

Usa la subsecuencia: ¿Se puede argumentar estableciendo $A = P_k$, una secuencia de proyectores, y considerando $y_{kn} = P_k y_n$? Tenemos $tr(y_n)=\lim_k tr(P_k y_n)$, de modo que para cualquier $\epsilon>0$ existe un $K^n_\epsilon$ tal que para todo $k>K^n_\epsilon$ y todo $n$ suficientemente grande,

$$ | tr(y) - tr(P_ky_n)| \leq |tr(y) - tr(y_n)| + |tr(y_n) - tr(P_ky_n)| < \epsilon $$

Si esto es correcto, entonces $tr(y_n)\rightarrow tr(y) > 0$.

Answer 1

El hecho de que $y\geq0$: dado que $y_n'\geq0$ para todo $n$ por hipótesis, obtenemos, para cualquier $\xi\in H$, y si denotamos por $P_\xi$ la proyección ortogonal sobre $\mathbb{C}\xi$, $$ \langle y\xi,\xi\rangle=\mbox{tr}(yP_\xi)=\lim\mbox{tr}(y_n'P_\xi)=\lim\mbox{tr}(P_\xi y_n'P_\xi)\geq0, $$ la última igualdad sigue de $y_n'\geq0$ y $P_\xi$ autoadjunto (de hecho es positivo). Así que $y\geq0.

Editar:

La afirmación $\liminf_n\mbox{tr}(y_n')\geq\mbox{tr}(y)$ es un caso particular de la semicontinuidad inferior de la traza en la topología débil-${*}$.

De hecho, para cada proyección de rango finito $P$ la función $x\mapsto\mbox{tr}(xP)$ es débil-${*}$ continua. Y, además, si fijamos una base ortonormal $\{\xi_n\}$ y dejamos $P_k=\sum_1^kP_{\xi_n}$, entonces $$ \mbox{tr}(x)=\sup_k\mbox{tr}(xP_k),\ \ \ \ \ \ x\in X'. $$ Esto muestra que en nuestra situación la traza es un supremo de funciones continuas, y por lo tanto semicontinua inferior.