$\sum_{cic}^{}\frac{a(a+b+c)}{9b^2+(a+b+c)^2} \geq \frac{1}{2}$

Question

Estaba intentando resolver esta pregunta: https://www.youtube.com/watch?v=600X-ZGNBbk

La pregunta es la siguiente:

$$\sum_{cic (a,b,c)}{}\frac{a}{b^2+1} \geq \frac{3}{2}$$

Donde $a+b+c = 3$ y $a,b,c > 0 $

El video utilizó una solución en la que sumaban $3$ y luego restaban $a+b+c$ para reescribir la desigualdad en algo más manejable. Aunque entiendo esta solución, me parece algo arbitraria: sumar 3 y luego restar la condición parece un poco aleatorio.

Lo que hice fue intentar homogeneizar la desigualdad para deshacerme de la condición. Esto significa escribir $1$ como $\frac{(a+b+c)^2}{9}$ y multiplicar el numerador por $\frac{a+b+c}{3}$:

$$\sum_{cic}^{}\frac{\frac{a(a+b+c)}{3}}{b^2+\frac{(a+b+c)^2}{9}} \geq \frac{3}{2}$$

$$\leftrightarrow $$

$$\sum_{cic}^{}\frac{a(a+b+c)}{9b^2+(a+b+c)^2} \geq \frac{1}{2}$$

Estoy bastante seguro de que esta desigualdad es verdadera sin la condición de $a+b+c=3$, pero no puedo ver una forma de demostrarlo. Multiplicar todo parece ser muy complicado; ¿hay una manera más fácil (idealmente con métodos matemáticos para competencias)?

Answer 1

Para demostrar tu desigualdad (no la desigualdad original), introduciría la condición $a + b + c = 1$. Nota que \begin{align*} \frac{1}{9b^2+1} &\geq 1 - \frac{3}{2}b\\ \iff 0 &\leq \frac{3}{2}b\left(1 - 3b\right)^2 \end{align*} (este es el Truco de la Recta Tangente). Por lo tanto, tenemos \begin{align*} \sum_{\text{cic}} \frac{a(a+b+c)}{9b^2+(a+b+c)^2} &= \sum_{\text{cic}} \frac{a}{9b^2 + 1}\\ &\geq \sum_{\text{cic}} a\left(1 - \frac{3}{2}b\right)\\ &= 1 - \frac{3}{2}(ab+bc+ca)\\ &\geq 1 - \frac{1}{2}(a+b+c)^2 && \text{por AM-GM}\\ &= \frac{1}{2} \end{align*} y así hemos terminado.

Answer 2

Por AM-GM $$\sum_{cyc}\frac{a}{b^2+1}=3+\sum_{cyc}\left(\frac{a}{b^2+1}-a\right)=3-\sum_{cyc}\frac{ab^2}{1+b^2}\geq$$ $$\geq3-\sum_{cyc}\frac{ab^2}{2b}=3-\frac{1}{2}\sum_{cyc}ab\geq3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$ Otra forma.

Después de expandir completamente necesitamos probar que: $$\sum_{cyc}(10a^6+42a^5b+24a^5c-21a^4b^2+105a^4c^2+38a^3b^3)+$$ $$+\sum_{cyc}(84a^4bc-66a^3b^2c+78a^3c^2b-294a^2b^2c^2)\geq0,$$ lo cual es cierto por AM-GM.

De hecho, $$66\sum_{cyc}a^4c^2=33\sum_{cyc}(a^4c^2+b^4a^2)\geq\sum_{cyc}66a^3b^2c$$ y por Muirhead $$21\sum_{cyc}(a^5b+a^5c)\geq21\sum_{cyc}(a^4b^2+a^4c^2).$$ Por lo tanto, es suficiente probar que: $$\sum_{cyc}(10a^6+21a^5b+3a^5c+60a^4c^2+38a^4b^3)+$$ $$+\sum_{cyc}(84a^4bc+78a^3c^2b-294a^2b^2c^2)\geq0,$$ lo cual nuevamente es AM-GM.

Espero que ahora esté claro.