Evaluando $\log_3(1+2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1))$ de la manera más eficiente

Question

Me he encontrado con una pregunta complicada mientras estudiaba logaritmos.

$$\log_3(1+2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1))$$

Mientras que introducirlo en una calculadora da una respuesta aparentemente simple, no puedo encontrar una forma de comenzar esto sin una calculadora.

Answer 1

Vuelve a escribir $\log_3(1+2(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1))$ como $\log_3(1+(3-1)(3+1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1))$. Puedes usar la fórmula de la Diferencia de Cuadrados para encontrar $\log_3(1+(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1))$. Si usas la fórmula de la Diferencia de Cuadrados 5 veces, obtienes $\log_3(1+(3^{64}-1))$. Finalmente, al eliminar los paréntesis, obtienes $\log_3(3^{64}+1-1)$, lo cual se simplifica a $\log_3(3^{64})$. Ahora, con la regla de potencias de logaritmos, esto se convierte en $64\log_3(3)$, que es igual a $64$.