Conjunto borel de $\mathbb R^n$ con $n > 1$

Question

Según varias fuentes, el conjunto de Borel sobre $\mathbb{R}^n$ se puede definir de varias maneras equivalentes:

Por ejemplo, se puede definir como la sigma-álgebra más pequeña que contiene cada conjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ o la sigma-álgebra más pequeña que contiene los conjuntos $(a_1, b_1) \times ... \times (a_n, b_n)$ para $a_1, ..., a_n, b_1, ..., b_n \in \mathbb{R$.

No logré encontrar ninguna demostración para esta equivalencia, y para mí parece ser falsa, así que me gustaría saber dónde está el error en mi razonamiento.

Supuse que $n = 2$ y gracias a las propiedades de una sigma-álgebra, reformulé el problema con conjuntos cerrados.

Si las definiciones anteriores son equivalentes, entonces la sigma-álgebra más pequeña que contiene cada conjunto cerrado de $\mathbb{R}^2$ debe ser la misma que la generada por los rectángulos $[a_1, b_1] \times [a_2, b_2]$. Si bien es obvio que la segunda sigma-álgebra está incluida en la primera, creo que hay conjuntos cerrados que no se pueden expresar como una unión numerable de rectángulos.

Por ejemplo, si tomas un triángulo cerrado $A(0,0)$ $B(1, 0)$ $C(1, 1)$ y consideras el lado $[AC]$, no es ni horizontal ni vertical, por lo tanto, cada punto de $[AC]$ debe ser una esquina de un rectángulo, lo que significa que se necesitan al menos tantos rectángulos para llenar el triángulo como puntos en $[AC]$, que no es un conjunto numerable que yo sepa.

Creo que mi idea se puede generalizar fácilmente para cualquier $n \geq 2$.

Creo que o bien cometí un error en mi demostración o no entendí la definición del conjunto de Borel sobre $\mathbb{R}^n$.

En cualquier caso, estaría encantado de saber dónde está el error.

Gracias.

Answer 1

Mostramos directamente que las dos definiciones son equivalentes: Solo necesitamos demostrar que todos los conjuntos abiertos en $\mathbb R^n$ pueden escribirse como una unión numerable de rectángulos abiertos.

Sea $V \in \mathbb R^n$ un conjunto abierto. Sea $C$ su complemento. Sea $Q$ un subconjunto denso y numerable en $V$. Para cada $p \in Q$, definimos

$$r_p = \sup \{r >0 : (p_1-r, p_1+r) \times \cdots \times (p_n-r,p_n+r) \subset V\}$$

Nótese que $r_p >0$. Además, el cuadrado

$$S_p(r_p) = (p_1-r_p, p_1+r_p) \times \cdots \times (p_n-r_p,p_n+r_p)$$

está contenido en $V

Afirmación: $V = \bigcup _{p\in Q} S_p(r_p)$.

Para ver esto, sea $v\in V$. Luego, definimos de manera similar $r_v$. Entonces $S_v(r_v)$ está contenido en $V. Como $Q$ es denso en $V$, existe $p\in Q$ tal que $|v_i-p_i|< r_v/3$ para todo $i$. Luego, el cuadrado $S_p(r_v/2)$ está contenido en $S_v(r_v)$. Por lo tanto, $r_p >r_v$. Además, $v \in S_p(r_v)$. Por lo tanto, $v \in S_p(r_p)$.

Answer 2

Cualquier conjunto abierto $U\subset\mathbb R^2$ es una unión numerable de rectángulos abiertos $(a,b)\times(c,d)$. No todos los conjuntos cerrados $C\subset\mathbb R^2$ son una unión numerable de rectángulos cerrados $[a,b]\times[c,d]$.

Lo mismo sucede con bolas abiertas y cerradas también. En un conjunto abierto siempre tienes un poco de espacio para encontrar un rectángulo alrededor de cualquier punto, pero en un conjunto cerrado esto no es posible alrededor de los puntos de la frontera.