Prueba que el mínimo y el máximo de 2 funciones continuas son continuas

Question

Demuestra que si $f$ y $g$ son funciones continuas, también lo son $\min\{f(x),g(x)\}$ y $\max\{f(x),g(x)\}$

Sé que esto es cierto cuando $f$ y $g$ no se intersectan, entonces puedo compararlas. Sin embargo, no sé cómo probar que es cierto cuando se intersectan.

Answer 1

Sea $h(x) = \min\{f(x),g(x)\}$. Supongamos que $x_0$ es tal que $f(x_0) = g(x_0)$. Queremos demostrar que $h$ es continua en $x_0.

Tomemos $\epsilon > 0$, entonces hay un $\delta_f$ tal que $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$ para $|x-x_0| < \delta_f$, y similarmente para $g$ y algún $\delta_g$ (con el mismo $\epsilon).

Usando esto, y el hecho de que $h(x_0) = f(x_0) = g(x_0)$, demostramos que $|h(x) - h(x_0)| < \epsilon$ ya sea que $h(x) = f(x)$ o $h(x) = g(x)$ siempre que $|x-x_0| < \delta$ para algún $\delta$.