Mostrar que $(A+B)^{-1}\cdot A$ es una contracción

Question

Sé que A y B son matrices cuadradas definidas positivas y necesito demostrar que el mapeo $(A+B)^{-1} A$ es una contracción. Por supuesto, si fueran escalares, sería obvio. ¿Alguna sugerencia sobre cómo proceder?

He probado algunos ejemplos numéricamente y hasta ahora no he encontrado un contraejemplo.

Answer 1

Me pregunto si podemos hacer esto. Supongamos que $\lambda$ es un eigenvalor de $(A+B)^{-1}A.$ Intentaremos demostrar que $0 < \lambda < 1.

tenemos $$(A+B)^{-1}Ax = \lambda x \implies Ax = \lambda(A+B) x\implies(1-\lambda)Ax = \lambda Bx\implies (1-\lambda)x^\top Ax = \lambda x^\top Bx $$

ahora podemos utilizar el hecho de que $x^\top Ax > 0, x^\top Bx > 0$ y $(1-\lambda)x^\top Ax = \lambda x^\top Bx$ para concluir que $0 < \lambda < 1$ lo que implica que $(A+B)^{-1}A$ es una contracción.