¿Hay alguna manera fácil de mostrar $8\cos^3(12^o)-6\cos(12^o)=\phi$?

Question

¿Hay alguna manera fácil de mostrar (1)

(1)

$$8\cos^3(12^o)-6\cos(12^o)=\phi$$

sin sustituir en la ecuación?

$8\left(\frac{1}{8}\left[\sqrt{6(5+\sqrt5)}+\sqrt5-1\right]\right)^3-6\cdot\frac{1}{8}\left[\sqrt{6(5+\sqrt5)}+\sqrt5-1\right]=\phi$

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Constante trigonométrica expresada en radicales reales-Wikipedia.

$\cos(12^o)=\frac{1}{8}\left[\sqrt{6(5+\sqrt5)}+\sqrt5-1\right]$

$\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$

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Answer 1

Recuerda que $$\cos 3x=4\cos^3 x- 3\cos x$$ $$\implies 2(4\cos^3 12^{\circ}-3\cos 12^{\circ})=2\cos36^\circ$$ Usando $$\cos 36^\circ=\frac{1+\sqrt{5}}4$$ Obtenemos $$8\cos^3 12^{\circ}-6\cos 12^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}2=\phi$$