¿Cómo verificar la analiticidad real de una función?

Question

Recientemente aprendí series de Taylor en mi clase. Me gustaría saber cómo es posible distinguir si una función es real-analítica o no. Lo primero que hay que comprobar es si es suave. ¿Pero cómo puedo saber si la serie de Taylor converge a la función?

Por ejemplo: $f(x)=\frac{1}{1-x}, x\in(0,1)$ tiene un polinomio de Taylor de grado $n$ $\sum_{k=0}^n x^k$. En este caso, entiendo que $f$ es analítica en su dominio ya que la serie geométrica $\sum_{k=0}^\infty x^k$ para $x\in(0,1)$ converge a $\frac{1}{1-x}.

En general, ¿cuál es el truco? Por ejemplo, ¿cómo saber si $\sin(x),\cos(x)$ son analíticas?

Answer 1

Esta es una pregunta difícil en general. Idealmente, para demostrar que $f$ es analítica en el origen, debes mostrar que en un vecindario adecuado de $0$, el error del $n$-ésimo polinomio de Taylor se acerca a $0$ a medida que $n\to\infty$.

Por ejemplo, para $f(x)=\sin(x)$, cualquier derivada de $f(x)$ es una de $\sin(x)$, $\cos(x)$, $-\sin(x)$, o $-\cos(x)$, y el error dado por el $n$-ésimo polinomio de Taylor toma la forma $\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\alpha)}{(n+1)!}x^{n+1}$ para algún $\alpha$ entre $0$ y $x$ (que depende de $n$). En valor absoluto, esto está acotado por $\displaystyle \frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}$, que (en cualquier conjunto acotado) se acerca a $0$ uniformemente a medida que $n\to\infty$. Esto muestra que la serie de Taylor para $f(x)=\sin(x)$ converge a $\sin(x)$, en cualquier vecindario de $0$ (y por lo tanto en todas partes). Lo mismo se aplica a $f(x)=\cos(x)$. Un argumento similar se aplica a una variedad de funciones, incluyendo $f(x)=e^x$.

Y existen teoremas generales; por ejemplo, cualquier solución de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea con coeficientes analíticos es analítica (en un pequeño vecindario), ya que la ecuación diferencial se puede usar para establecer límites en el término de error. El caso del seno es un ejemplo, ya que $\sin(x)$ es una solución de $y''=-y$.

Pero la pregunta es difícil en general. Por ejemplo, una serie uniformemente convergente de funciones analíticas no necesariamente es analítica. Por ejemplo, considera la función de Weierstrass, que de hecho no es diferenciable en ninguna parte.

Dada una función suave $f$ y un punto $a$ en su dominio, puede ser que la serie de Taylor formal asociada a $f$ en $a$ no converja en ninguna parte. Claramente en ese caso $f$ no es analítica en $a$. Pero puede ser que la serie de Taylor formal asociada a $a$ converja en un intervalo, pero no converge a $f$ (de manera idéntica) en ningún intervalo de este tipo. Entonces, nuevamente, $f$ no es analítica, pero esto puede ser más difícil de establecer. Para un breve resumen de funciones con continuidad infinita pero no analíticas, por Dave L Renfro, mira aquí.

En la práctica, para muchas funciones analíticas $f$, la analiticidad se establece no estudiando la tasa de decaimiento de los términos de error, sino por "herencia". Por ejemplo, $f$ podría ser la serie de derivadas término por término de una función analítica, o su antiderivada término por término, o el resultado de componer dos funciones analíticas, etc.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la tesis de Betty Mock de que las funciones analíticas complejas suelen ser más fáciles de manejar que las funciones analíticas reales, pero no creo que las funciones enteras (por ejemplo, $e^z$, $\cos z$, $\sin z$) sean un buen ejemplo de eso: la historia analítica real es la misma que la historia analítica compleja.

Buscando por ahí, encontré esta pregunta anterior en math.SE que pregunta por qué si una función real $f$ es analítica en $a \in \mathbb{R}$ y $f(a) \neq 0$, entonces $\frac{1}{f}$ es analítica en $a$. Como indican las respuestas, si usas análisis complejo entonces es solo cuestión de adaptar la diferenciabilidad del recíproco a funciones de una variable compleja (no hay problema). Sin embargo, si insistes en mostrar directamente que la serie de Taylor de $\frac{1}{f}$ tiene un radio de convergencia positivo en $a$....entonces esto realmente es un dolor, como afirman varias de las respuestas (incluyendo una mía, donde hago referencia a un libro sobre teoría de funciones analíticas reales pero no tengo la energía para reproducir los detalles).

Ya entender por qué $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ es analítica y que el radio de convergencia de la expansión en serie de Taylor en $a \in \mathbb{R}$ es precisamente $\sqrt{1+a^2}$ es un argumento rápido de pura reflexión si conoces los rudimentos del análisis complejo. Pero intentar demostrar esta fórmula para el radio de convergencia directamente a partir de la expansión en serie de Taylor... ahí habrá un trabajo real, me parece.

Answer 3

Darse cuenta si una función es real analítica es una molestia; darse cuenta si una función compleja es analítica es mucho más fácil. Primero, entender que una función real puede ser analítica en un intervalo, pero no en toda la recta real.

Así que lo que trato de hacer es considerar f como una función de una variable compleja en el vecindario del punto digamos x = a en cuestión. Si f(z) (z complejo) = f(x) cuando y = 0 (z = x + iy) entonces f(z) es una extensión de f a un vecindario de a. Para mostrar que f(z) es analítica solo necesitas mostrar que tiene una derivada como variable compleja en a. Si es así, entonces su serie de Taylor convergerá a f(z) en algún vecindario de a. f como una función real es analítica en el intervalo que este vecindario cubre.

Este enfoque muestra que el seno y el coseno son analíticos en todo el plano, y por lo tanto en el eje x.