¿Es posible derivar las leyes de Maxwell ... solo a partir de esa fórmula ...? Me parece interesante si podemos derivar todo el campo electromagnético clásico a partir de una sola fórmula ...
Hehl & Obulov proporcionan una derivación de las ecuaciones de Maxwell comenzando solo desde la conservación relativa de carga sobre cualquier espacio-tiempo, que es una variedad lorentziana. Este principio se expresa en una 'sola fórmula'. Las ecuaciones usuales se encuentran después de imponer un campo de tiempo. Esto se detalla en su libro, Foundations of Electromagnetism.
En un breve artículo en Arxiv, detallan una derivación similar pero sobre el espacio. Aquí, requieren tanto la conservación de carga eléctrica como de flujo magnético. Esto se puede deducir de lo anterior, ya que la conservación de carga relativista implica la conservación de carga eléctrica y flujo magnético. Pero aquí, consideran solo el espacio en lugar del tiempo y, por lo tanto, requieren dos principios independientes.
Sus ecuaciones no requieren una métrica, pero en este caso requieren cuatro campos. Cuando se impone una métrica espacial, los campos se reducen a dos y se recuperan las ecuaciones habituales de Maxwell.
La última derivación se esboza de la siguiente manera. Utiliza la tecnología de formas diferenciales, pero uso el término 'cofield' como sinónimo de forma diferencial ya que está más alineado con la terminología en física, es decir, campos. Así que un k-cofield es una k-forma diferencial. En particular, un cofield escalar es un $0$-cofield y un cofield coscalar es un $0'$-cofield donde $k':= m-k$.
Ahora, sea $M$ una variedad espacial, esto es, una variedad riemanniana que describe el espacio. Dejamos que $m$ sea su dimensión.
Sea $\rho$ la codensidad de carga. Llamamos a esto una codensidad porque la describimos por un cofield coscalar en lugar de un cofield escalar. Esto se debe a que queremos evitar el uso de la métrica; y la estrella de Hodge, que implica la métrica, se requiere para transformar una densidad de carga en una codensidad de carga y es la codensidad en lugar de la densidad sobre la que se integra en un cuerpo para encontrar su carga total (en presencia de una métrica, la densidad es suficiente).
Ahora elige cualquier bola cerrada $B$ de espacio $M$, entonces la carga total contenida por $B$ es:
$Q:= \int_B \rho$
Ahora, dado que $\rho$ es un top cofield, su diferencial exterior es cero y por lo tanto es un cofield cerrado. Según el teorema de Poincaré, tendrá un potencial local $D$ al que llamamos excitación eléctrica. Así que:
$dD = \rho$, localmente
Esta es la ley eléctrica de Gauss. Notemos que solo es cierta localmente. Ahora, la conservación global de carga significa que tenemos una corriente $j$ que es un cofield de grado $m-1$ y satisface:
$\partial_t \int_B *\rho + \int_{\partial B} j = 0$
Podemos reescribir esto utilizando el teorema de Stokes como:
$\partial_t \int_B *\rho + \int_B dj = 0$
Dado que esto es cierto para cualquier bola cerrada $B$, obtenemos la forma local de la conservación de carga:
$\partial_t *\rho + dj = 0$
Localmente, esto es:
$\partial_t dD + dj = 0$
Y esto es igual a:
$d(\partial_t D + j)= 0$
El término entre paréntesis es nuevamente una forma cerrada, por lo que nuevamente podemos introducir localmente un potencial para este término y que llamamos la excitación magnética $H$. Entonces:
$dH = \partial_t D + j$
Esto da la ley de Ampère-Maxwell. Así que hemos derivado las ecuaciones de Maxwell no homogéneas puramente a partir de la conservación de carga eléctrica y sin el uso de ninguna métrica y todo esto sobre cualquier variedad suave orientada. Sin embargo, para escribirlo en términos tradicionales a través de curl y div, requeriríamos una métrica. Primero introducimos sus variantes de cofield de div y curl:
$cocurl = *d$ y $codiv = *d*$
Estas están relacionadas con las versiones tradicionales a través de los operadores de elevación y descenso:
$curl = \sharp \circ cocurl \circ \flat$ y $div = \sharp \circ codiv \circ \flat$
Y también los cofields eléctricos y magnéticos $E$ y $B$ se definen por lo que Hehl & Obukov llaman las ecuaciones constitutivas:
$D := \epsilon_0. *E$ y $\mu_0.H:= *B$
Recuerda, la ley eléctrica de Gauss es $dD = \rho$, localmente. Así que reemplazando la excitación eléctrica $D$ con el campo eléctrico obtenemos, $d*E=\rho/\epsilon_0$ y luego aplicando la estrella de Hodge, obtenemos $(*d*)E =*\rho/\epsilon_0$. Esto es simplemente $codiv(E) = *\rho/\epsilon_0$. Luego, al introducir los operadores de elevación y descenso, obtenemos $\sharp \circ codiv \circ \flat \circ \sharp(E) = \sharp(*\rho)/\epsilon_0$. Y esto se reduce a:
$div (E^{\sharp}) = (*\rho)^{\sharp}/\epsilon_0$
Esta es la ecuación de Gauss eléctrica tradicional una vez que reconocemos que como introdujimos $E$ como un cofield eléctrico, luego $E^{\sharp}$ es el campo eléctrico. Y como introdujimos $\rho$ como la codensidad de carga eléctrica que es un campo coscalar, entonces $*\rho$ es la densidad de carga eléctrica que es un campo escalar y como el operador de elevación, $\sharp$, no hace nada en cofields escalares, es decir, son equivalente a campos escalares. Así que renombrando $E^{\sharp} \rightarrow E$ y $(*\rho)^{\sharp} \rightarrow \rho$, obtenemos la ecuación tradicional:
$div(E) = \rho/\epsilon_0$, ley local de Gauss eléctrica.
Pero a diferencia de la ecuación tradicional, esto es válido en cualquier variedad riemanniana considerada como la variedad espacial. De manera similar, para la ley de Ampère-Maxwell.
Hehl & Obukhov derivan las ecuaciones homogéneas a partir de la conservación de flujo magnético. Nuevamente, esto no requiere una métrica. En su lugar, se introducen independientemente los cofields eléctricos y magnéticos y se utiliza la conservación del flujo magnético para derivar la ley magnética de Gauss y la ley de Faraday. Para volver a encontrar las formas tradicionales, aplicamos las leyes constitutivas como se mencionó anteriormente.
