¿Existe una acción transitoria suave de un grupo de Lie (de dimensión finita) $ G $ en la variedad de Hantzsche-Wendt?
En otras palabras, ¿existe un grupo de Lie $ G $ y un subgrupo cerrado $ H $ tal que $ G/H $ sea difeomorfo a la variedad de Hantzsche-Wendt?
Si existe tal acción transitoria, mi suposición es que el grupo $ G $ es el grupo euclidiano $ E_3 $ o algún subgrupo de $ E_3 $. Observa que $ G $ debe ser no compacto ya que todas las tres variedades con acción transitoria por un grupo compacto ya están dadas aquí
https://math.stackexchange.com/a/4364430/758507
También el grupo debe ser de al menos dimensión 4 ya que todas las variedades que son el cociente de un grupo de Lie tridimensional por un retículo cocompacto ya están dadas aquí
https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0166864181900183
Algo de antecedentes:
La variedad de Hantzsche-Wendt es una variedad plana compacta conectada orientable de 3 dimensiones.
Como todas las variedades planas compactas, está normalmente cubierta por un toro, en este caso $ T^3 $. Y además (como todas las variedades planas) es asférica. Así que está determinada por su grupo fundamental que se presenta en https://arxiv.org/abs/math/0311476 como $$ \pi_1(M) \cong $$ donde $ X,Y,Z=(XY)^{-1} $ son los movimientos de tornillo generadores que se cuadran a las traslaciones $ t_1= X^2, t_2=Y^2,t_3=Z^2 $ dadas en el teorema 3.5.5 de Wolf. Dado que $ M $ es compacta y plana, $ \pi_1 $ es un grupo de Bieberbach, de hecho encaja en la sucesión exacta corta $$ 1 \to \mathbb{Z}^3 \to \pi_1(M) \to C_2 \times C_2 \to 1 $$ así que $ M $ tiene holonomía $ C_2 \times C_2 $. Al abelianizar $ \pi_1 $ podemos ver que la primera homología es $$ H_1(M,\mathbb{Z})\cong C_4 \times C_4 $$ De la sucesión exacta corta anterior vemos que $ \pi_1 $ es virtualmente abeliano y soluble.
