¿Esto se cumple en general?

Question

Sé que lo siguiente es cierto cuando $n=1$. ¿Qué pasa en el caso de $n \geq 2$?

Sea $O \subsetneq \mathbb{R}^n$ un conjunto abierto no vacío.

Existe $C, \delta >0$ tal que $|\{x \in O \mid \operatorname{dist}(x, \mathbb{R} \setminus O) < \varepsilon\}| \geq C {\varepsilon}^n$ para todo $0<\varepsilon < \delta$.

Answer 1

SÍ. Suponga que $S \neq \Bbb R^n.$

(I). Terminología. Sea $m(S)$ la medida de dimension $n$ de cualquier conjunto medible $S \subset \Bbb R^n.$ Para $x \in \Bbb R^n$ y $r>0$ sea $B(x,r)$ la bola abierta de radio $r$ centrada en $x$. Sea $r^n C_n$ el volumen (medida) de $B(x,r).$ Sea $C=2^{-n}C_n.$

Sea $O^c=\Bbb R^n \ O.$ Por brevedad, sea $\{x \in O: d(x, O^c) < e\}=S(e).$

(II). Tome $d>0$ suficientemente pequeño de manera que exista $x_0 \in O$ con $d(x_0,O^c)=d.$

Para cualquier $e\in (0,d)$ tome $x_1\in \{tx_0+(1-t)q:t\in [0,1]\}$ tal que $d(x_1,q)=e/2.$ Note que $d(x_0,x_1)=d-e/2.$

Ahora $B(x_1,e/2)\subset O .$ De lo contrario, si $y\in B(x_1,e/2) \cap O^c$ entonces $$d(x_0,O^C) \leq d(x_0,y) \leq d(x_0,x_1)+d(x_1,y)=(d-e/2)+d(x_1,y)< (d-e/2)+e/2=d.$$

Así que para cualquier $x\in B(x_1,e/2)$ tenemos $x\in O$ y $$d(x,O^c) \leq d(x,q) \leq d(x,x_1)+d(x_1,q) < e/2+d(x_1,q)=e.$$

Por lo tanto $B(x_1,e/2)\subset S(e).$

Por lo tanto $m(S(e))\geq m(B(x_1,e/2)=Ce^n.$

Nota al pie. $U=O^c \cap \overline {B(x_0,1+d)}$ es compacto, por lo que algún $q\in U$ satisface $d(x_0,q)=d(x_0, O^c) .$