Independencia de una variable aleatoria $X$ consigo misma

Question

En nuestra clase sobre probabilidades, mi profesor hizo el comentario de que "una variable aleatoria X no es independiente de sí misma." (Aquí estaba hablando específicamente de variables aleatorias discretas.) Le pregunté por qué eso era cierto. (Mi intuición para dos contraejemplos son $X \equiv 0$ y $X$ tal que $$m_X(x) = \begin{cases}1, &\text{ si } x = x_0\\ 0, &\text{ si }x \neq x_0.)\end{cases}$$

En estos casos, parece que $\mathbb{P}(X \leq x_1 , X \leq x_2) = \mathbb{P}(X \leq x_1) \cdot \mathbb{P}(X \leq x_2)$.

La respuesta de mi profesor fue, "La independencia o dependencia de $X$ de sí misma depende de la definición de la función de distribución conjunta $m_{X,X}$, que es esencialmente arbitraria."

¿Alguien puede ayudarme a entender esto?

Answer 1

Los únicos eventos que son independientes de sí mismos son aquellos con probabilidad de $0$ o $1$. Esto se sigue del hecho de que un número es su propio cuadrado si y solo si es $0$ o $1. La única forma en que una variable aleatoria $X$ puede ser independiente de sí misma es si para cada conjunto medible $A$, la probabilidad de $X \in A$ es o bien $1$ o $0$. Esto ocurre si y solo si $X$ es esencialmente constante, lo que significa que hay algún valor $x_0$ tal que $\Pr(X=x_0)=1$.

Answer 2

Supongamos que $X$ es un evento de un espacio muestral S, y supongamos que $X$ es independiente de sí mismo. Esto significa que $P(X/X)=P(X)$. Pero por definición,

$$P(X∩X)=P(X)P(X/X)= P(X)P(X)=P(X)^2$$

pero $P(X\cap X)=P(X)$, ya que $X\cap X=X$. Por lo tanto, $P(X)=P(X/X)=P(X)P(X)=P(X)^2$.

Este resultado solo puede ocurrir cuando $P(X)=1$ o $P(X)=0$. En conclusión, un evento $X$ de un espacio muestral $S$ puede ser independiente de sí mismo solo si $P(X)=1$ o $P(X)=0$.