¿Qué hacer cuando el punto de Chebyshev es igual al punto de datos en la interpolación de Lagrange?

Question

Voy a usar la interpolación de Lagrange utilizando los nodos de Chebyshev usando la siguiente fórmula

$$\sum_x \prod_{k=0,k\not={j}}^n \frac {x-y_k}{y_j-y_k} f(x) $$

en la cual $x$ son mis puntos de datos, $y_k $ son mis puntos de Chebyshev. Podría darse el caso de que $x$ y $y_k$ sean iguales, por lo que el producto será cero. ¿Qué debo hacer en estas situaciones? ¿Debo utilizar el valor cero o poner algo más en su lugar?

Answer 1

Si $x = y_j \in X$ (rejilla de Chebyshev) queremos que todos los polinomios de Lagrange se cancelen excepto el polinomio asociado al nodo $y_j$ que queremos que sea igual a $1$.

Esta es la única forma de verificar que tengamos: $$\Pi_nf(x) := \sum_{j = 0}^n\left( f(y_j) \prod_{k=0,k\not={j}}^n \frac {x-y_k}{y_j-y_k} \right) $$ igual a $f(y_j)$. De hecho, si $x= y_j$ cada término de la suma se cancela excepto el $j$-ésimo y así obtenemos el resultado.