Grado de la preimagen de una variedad

Question

Sea $V\subset \mathbb{A}^m$ y $W\subset \mathbb{A}^n$ variedades afines definidas sobre un campo arbitrario. Sea $f:V\to \mathbb{A}^n$ un morfismo dado por polinomios de grado $\leq D$.

¿Es cierto que $$\deg(f^{-1}(W)) \leq \deg(V) \deg(W) D^{\dim(\overline{f(V)})}?$$

Aquí, por "grado", nos referimos a "suma de los grados de los componentes irreducibles".

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Esto es lo que tengo:

• una prueba de lo anterior cuando $\dim(W) = 0$ (llamémosle Lema 1),
• una prueba del límite simple $\deg(\overline{f(V)})\leq \deg(V) D^{\dim(\overline{f(V)})}$ (llamémosle Lema 2),
• una prueba del límite más débil $\leq \deg(V) \deg(W) D^{\dim V}$ (ACTUALIZACIÓN - Utilizo esto (llamémosle Lema 3), y lo pruebo, en mi propia respuesta. La prueba utiliza el Lema 2.)

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¿Hay una prueba corta y limpia? ACTUALIZACIÓN: Afirmo que sí la hay, de hecho puedo demostrar un límite más fuerte y exacto; ver mi propia respuesta. Utilizo los Lemmas 2 y 3 arriba, pero no el Lema 1. El Lema 2 me fue señalado aquí (Degree of image of a polynomial map) hace mucho tiempo.

Answer 1

Trabajemos de forma proyectiva para no tener que escribir cierres. Espero que esta vez sea la buena.

Sea $L\subset \mathbb{P}^m$ un hiperplano de codimensión $\dim f^{-1}(W)$ que interseca $f^{-1}(W)$ en $\deg f^{-1}(W)$ puntos. Nos restringimos a $L$, y hemos reducido así el problema al caso donde $f^{-1}(W)$ es de dimensión cero. (Hemos intercambiado $V$ por $V\cap L$, que por supuesto tiene grado $\leq \deg(V)$; no hemos tocado $W$.)

Ahora podemos asumir que $V$ (nuestro nuevo $V$) es irreducible, sin pérdida de generalidad. Entonces el Teorema 2 en la sección 1.8 del Red Book de Mumford muestra que, debido a que $f^{-1}(W)$ es de dimensión cero, necesariamente se cumple que $\dim f(V) = \dim V$. Pero entonces obtenemos nuestro resultado por el Lema 3 anterior: $$\deg(f^{-1}(W)) \leq \deg(V) \deg(W) D^{\dim V} = \deg(V) \deg(W) D^{\dim f(V)}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textrm{QED}.$$

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De hecho, dado que podemos tomar $L$ como genérico, podemos asumir que $V\cap L$ (nuestro nuevo $V$) tiene dimensión $\dim V - \textrm{codim}(L) = \dim V - \dim f^{-1}(W)$. Según el mismo resultado de Mumford, $\dim f^{-1}(W) \geq \dim(V\cap W) + \dim V - \dim f(V)$, por lo que realmente hemos demostrado que $$\deg(f^{-1}(W)) \leq \deg(V) \deg(W) D^{\dim V - \dim f^{-1}(V)} = \deg(V) \deg(W) D^{\dim(f(V)) - \dim(f(V)\cap W)}.$$ Al menos si $f$ es dominante, esta nueva cota es claramente ajustada: si $W$ se da como una intersección completa de hipersuperficies $g_i(\vec{y})=0$, $1\leq i\leq r$ de grado $D_i$ con $\prod_i D_i = \deg(W)$, entonces $f^{-1}(W)$ es la intersección de $V$ con las hipersuperficies $(g_i\circ f)(\vec{x})=0$ de grado $D_i D$, y por lo tanto el grado de $f^{-1}(W)$ debería ser $$\deg(V) \prod_{i=1}^r D_i D = \deg(V) \prod_{i=1}^r D_i \cdot D^{\textrm{codim}(W)} = \deg(V) \deg(W)D^{\dim(f(V)) - \dim(f(V)\cap W)}.$$