Cuando es divergente una serie de matrices. ¿Cómo definir la divergencia en este caso?

Question

En la mecánica cuántica tratamos con series de operadores representados como matrices como

$$e^A = 1+ A + \frac{A^2}{2} + \dots$$

y de manera similar para $\sin(A) $, etc., donde $A$ es una matriz. Ahora mi pregunta es

¿Cómo definir la convergencia y divergencia de una serie de matrices?

Al igual que con números reales si $u_n $ es el término $n$-ésimo de la serie, entonces si no tiende a $0$ definitivamente podemos decir que la serie es divergente.

Para matrices ¿es simplemente que el término $n$-ésimo debe tender a la matriz $\mathbf{0}$ o algo más? Porque una serie de números reales es divergente si la suma tiende a $\pm \infty$ o no tiende a nada.

¿Qué hay de una serie de matrices? ¿Cuándo es divergente una serie de matrices? ¿Existen series telescópicas o alternantes también? ¿Cuáles son las pruebas para verificar la convergencia?

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Edit: Todavía no entiendo cómo podemos probar la convergencia de la serie de matrices. ¿Hay pruebas estándar? ¿Alguien puede decirme cuál se usa para probar la convergencia de $\exp(A)$, $\sin(A)$, es decir, una prueba que se usa con frecuencia? O al menos una prueba para probar la divergencia directa

Answer 1

El espacio de matrices $d\times d$ sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ generalmente está equipado con la topología tal que:

• Una secuencia de matrices $ A^{(n)} = [a_{ij}^{(n)}]_{1 \leq i,j \leq d}$ converge cuando $n\to\infty$ si y solo si cada $ a_{ij}^{(n)}$ converge cuando $n\to\infty$ para cada par $i, j$.

Por lo tanto, puedes aplicar cualquiera de las pruebas de convergencia famosas a cada entrada. Alternativamente, esta topología se realiza mediante alguna de las normas de matriz $\| \cdot \|$ como la norma de Frobenius

$$ \| A \|_{F} := \sqrt{\sum_{i,j=1}^{d} |a_{ij}|^2} $$

o la norma de operador

$$ \|A \| := \sup_{v : \|v\| = 1} \| Av \|. $$

Luego, muchas de las pruebas de convergencia para series de números reales/complex continúan siendo aplicables si el papel del valor absoluto es reemplazado por alguna de las normas de matriz:

• Si $\sum_{n=1}^{\infty} \| A_n \| < \infty$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} A_n$ converge.

• Si $\limsup_{n\to\infty}\|A_n\|^{1/n} < 1$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} A_n$ converge.

• Si $\limsup_{n\to\infty}\frac{\|A_{n+1}\|}{\|A_n\|} < 1$, entonces $\sum_{n=1}^{\infty} A_n$ converge.

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Sin embargo, muchos de los operadores que aparecen en la mecánica cuántica son operadores no acotados en espacios de dimensiones infinitas, lo que requiere conocimientos en el campo del análisis funcional.

Answer 2

La convergencia de una serie de matrices implica la convergencia de todas las entradas.

Es común considerar funciones holomorfas de matrices $f(A)$.

Pero si tu interés es la mecánica cuántica, generalmente necesitas considerar operadores no acotados y, por supuesto, necesitamos un enfoque diferente en ese caso.