Demostrar que la función característica de una variable aleatoria es uniformemente continua.

Question

La definición de la función característica de una variable aleatoria $X$ es $$\varphi(\lambda)=E[e^{i\lambda X}]=\int_{-\infty}^\infty e^{i\lambda x}\,dP(x),$$ donde $dP$ es la distribución de la variable aleatoria.

Demuestra que la función característica de una variable aleatoria es uniformemente continua.

Mi intento de prueba es:

$$|\varphi(\lambda) -\varphi(\lambda') | = |\int_{-\infty}^\infty (e^{i\lambda x} -e^{i\lambda' x} ) dP(x)| $$

$$\leq |\int_{-\infty}^\infty e^{i\lambda' x} (e^{i(\lambda - \lambda') x}-1) dP(x)| $$

$$\leq \int_{-\infty}^\infty |e^{i\lambda' x}| |e^{i(\lambda - \lambda') x}-1| dP(x) $$

Luego usa el hecho de que el valor absoluto de un exponencial complejo es 1. $$= \int_{-\infty}^\infty |e^{i(\lambda - \lambda') x}-1| dP(x) $$

Luego usa la desigualdad que la desigualdad $|e^{ihx}-1|\le |hx|$.

$$\leq \int_{-\infty}^\infty |(\lambda - \lambda') x| dP(x) $$

No sé cómo seguir. El libro de texto dice que necesito usar el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue. No sé cómo usar eso. Creo que estoy atascado en cómo probar que una función es uniformemente continua. Solo conozco esta definición de uniformemente continua:

Dado $\epsilon > 0$, queremos encontrar $\delta > 0$ tal que $$ |f(x) - f(y)| < \epsilon \quad \text{cuando} \quad |x-y| < \delta $$ y $\delta$ es independiente de $x$ y $y$.

Answer 1

Has demostrado que $$|\varphi(\lambda)-\varphi(\lambda')|\leq\int_{-\infty}^\infty|e^{i(\lambda-\lambda')x}-1|dP(x).$$ Sea $\phi(\lambda)=\int_{-\infty}^\infty|e^{i\lambda x}-1|dP(x)$, entonces $|\varphi(\lambda)-\varphi(\lambda')|\leq\phi(\lambda-\lambda')$.

Probamos que $\lim_{\lambda\to0}\phi(\lambda)=0=\phi(0)$. Recordando la definición de $\phi$, dado que $|e^{i\lambda x}-1|\leq 2$ y $\lim_{\lambda\to0}|e^{i\lambda x}-1|=0$ para todo $x$, y $\int_{-\infty}^\infty 2dP(x)=2<\infty$, el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue dice que $$\lim_{\lambda\to0}\phi(\lambda)=\lim_{\lambda\to0}\int_{-\infty}^\infty|e^{i\lambda x}-1|dP(x)=0.$$

Así, para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar $\delta>0$ tal que $0\leq\phi(\lambda)<\epsilon$ para todo $|\lambda|<\delta$; por lo tanto, siempre que $|\lambda-\lambda'|<\delta$, tenemos $$|\varphi(\lambda)-\varphi(\lambda')|\leq\phi(\lambda-\lambda')<\epsilon.$$ Esto demuestra la continuidad uniforme de $\varphi$.

Observación. Has dado un paso adicional que $|\varphi(\lambda)-\varphi(\lambda')|\leq\int_{-\infty}^\infty|(\lambda-\lambda')x|dP(x)$, lo que implica que $\varphi$ es continua de Lipschitz y luego uniformemente continua siempre y cuando $\int_{-\infty}^\infty |x|dP(x)<\infty$. Pero esto no siempre es cierto. Por ejemplo, la distribución de Cauchy, cuya función característica es uniformemente continua, a pesar de que el primer momento no existe.

Sobre las cosas del TCD. Sea $\{\lambda_n\}$ una secuencia arbitraria que tiende a $0$ cuando $n\to\infty$. Dado que $|e^{i\lambda_n x}-1|\leq 2$ y $\lim_{n\to\infty}|e^{i\lambda_n x}-1|=0$, el TCD estándar implica que $$ \lim_{n\to\infty}\phi(\lambda_n)=\lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty|e^{i\lambda_n x}-1|dP(x)=0.$$ Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}\phi(\lambda_n)=0$ para todas las secuencias $\{\lambda_n\}$ que tienden a $0$ cuando $n\to\infty$, lo cual implica que $\lim_{\lambda\to0}\phi(\lambda)=0$ por el teorema de Heine. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Convergencia Dominada con límites "continuos", y ha sido discutido muchas veces en este sitio, ver aquí y aquí para más información.