Mi texto da mucho más complicado que la prueba de este resultado, lo que me hace preguntarme si el argumento que tengo en mi cabeza para que esto tiene algo de malo. Funciona esto, o he hecho una mala suposición en algún lugar a lo largo de la línea?
Deje $U \subseteq \mathbb{C}$ ser abierto, $\overline{D}(z_0, r) \subset U$, e $f : U \rightarrow \mathbb{C}$ ser holomorphic con un cero de orden $n$ $z_0$ y ningún otro ceros en $U$. Teniendo un poder de expansión de la serie en $z_0$, $$f(z) = a_n(z-z_0)^n + o((z-z_0)^{n+1}).$$ La diferenciación, $$f'(z) = n a_n(z-z_0)^{n-1} + o((z-z_0)^n),$$ así tenemos $$\lim_{z \rightarrow z_0} \frac{(z-z_0) f'(z)}{f(z)} = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{n a_n(z-z_0)^n + o((z-z_0)^{n+1})}{a_n(z-z_0)^n + o((z-z_0)^{n+1})} = n.$$ Definir la función de $g : U \rightarrow \mathbb{C}$ por $$g(z) = \begin{cases} (z-z_0) f'(z)/f(z) & \text{if } z \neq z_0 \\ n & \text{otherwise} \end{casos}$$ Por la integral de Cauchy fórmula, $$n = g(z_0) = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial\overline{D}(z_0, r)} \frac{g(z)}{z - z_0} dz = \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial\overline{D}(z_0, r)} \frac{(z-z_0)f'(z)}{(z-z_0)f(z)} dz= \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\partial\overline{D}(z_0, r)} \frac{f'(z)}{f(z)} dz$$ como se desee.
