Spivak Cálculo 4ª Ed. Capítulo 11 Problema 27

Question

Estoy teniendo problemas para entender en qué consiste el siguiente problema. He incluido mis respuestas intentadas debajo de cada parte.

Capítulo 11 Problema 27

(a) Supongamos que la función polinómica $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + .. + a_0$ tiene exactamente $k$ puntos críticos y que $f''(x) \neq 0$ para todos los puntos críticos $x$. Muestra que $n - k$ es impar.

Dado que $f''(x) \neq 0$, todos los puntos críticos son mínimos locales o máximos locales. El signo de la derivada debe cambiar solo en cada uno de estos puntos, ya que $f'$ es un polinomio. El signo de la derivada también debe coincidir con el comportamiento inicial y final de $f$. Por ejemplo, si $n$ es par, $f'$ comienza siendo negativo y termina siendo positivo. Por lo tanto, para $n$ par, $k$ debe ser impar y para $n$ impar, $k$ debe ser par.

(b) Para cada $n$, muestra que si $n - k$ es impar, entonces existe una función polinómica $f$ de grado $n$ con $k$ puntos críticos, en cada uno de los cuales $f''$ es distinto de cero.

Sea $f'(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - k)(x^{n - k - 1} + 1)$ e integra. Como $n - k - 1$ es par, $f$ tiene exactamente $k$ puntos críticos. Dado que cada punto crítico $x$ es una raíz única de $f'$, $f''(x) \neq 0$ (por la regla del producto).

(c) Supongamos que la función polinómica $f(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + .. + a_0$ tiene $k_1$ puntos de máximo local y $k_2$ puntos de mínimo local. Muestra que $k_2 = k_1 + 1$ si $n$ es par, y $k_2 = k_1$ si $n$ es impar.

Al parecer, el argumento en (a) también funciona aquí. Los máximos y mínimos locales deben alternar y las restricciones sobre el comportamiento final hacen cumplir las relaciones dadas.

(d) Sean $n, k_1, k_2$ tres enteros con $k_2 = k_1 + 1$ si $n$ es par, y $k_2 = k_1$ si $n$ es impar, y $k_1 + k_2 < n$. Demuestra que hay una función polinómica $f$ de grado $n$, con $k_1$ puntos máximos locales y $k_2$ puntos mínimos locales. Pista: Elije $a_1 < a_2 < ... < a_{k_1 + k_2}$ e intenta con $f'(x) = \prod_{i = 1}^{k_1 + k_2}(x - a_i) \cdot (1 + x^2)^{l}$ para un número apropiado $l$.

De manera similar, parece que la parte (b) funciona aquí. Todos los puntos críticos $x$ son mínimos o máximos locales, ya que $f''(x) \neq 0$ y el argumento de cambio de signo implica que debe haber el número correcto de cada uno. Sin embargo, esto no utiliza la pista. ¿Es esto todavía correcto? ¿Qué se insinúa en la pista?

Answer 1

Si el polinomio $f'$ tiene $k$ raíces reales y $f''$ no se anula en ninguna de ellas, entonces todas sus $k$ raíces son simples. Por lo tanto, $f'$ posee exactamente $k$ raíces reales (contando multiplicidades) y todas las raíces restantes (si las hay), cuyo número es $n-1-k$, son complejas. Pero un polinomio real tiene un número par de raíces complejas.

Así que $n-1-k$ es par y $n-k$ es impar.

Answer 2

En cuanto a la pregunta en la parte d), si $l = k_1 + k_2$, para que $$f'(x) = (x - 1)(x - 2)...(x - l)(x^{n - l - 1} + 1)$$ funcione, necesitas demostrar que $(x^{n - l - 1} + 1)$ no tiene soluciones, es decir, que $n - l - 1$ sea par.

Aunque es una tarea trivial, la pista se escapa.