Si $\beta$ es la transposición $\beta = (1, 4)$, calcula tanto $\beta\alpha$ como $\beta\alpha\beta^{−1}$ y calcula los órdenes.

Question

Sea $\alpha$ la permutación en el grupo simétrico $S_9$ definida por $$\alpha =\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\ 5 & 1 & 7 & 6 & 3 & 9 & 2 & 8 & 4\end{matrix}\right)$$

Si $\beta$ es la transposición $\beta = (1, 4)$, calcula tanto $\beta\alpha$ como $\beta\alpha\beta^{1}$ y da una lista de aquellos enteros positivos que son los órdenes de los elementos en el grupo simétrico $S_9$. Para cada entero, también da una permutación que tenga ese orden.

Entonces he descubierto que $\alpha = (1,5,3,7,2)(4,6,9)$ como un producto de dos ciclos disjuntos. Sin embargo, no estoy seguro de cómo usar la transposición de $\beta$ en este caso para calcular la composición de $\beta\alpha$ y $\beta\alpha\beta^{1}$.

También, para la segunda parte de la pregunta, ¿no serían los órdenes de los elementos en el primer ciclo $(1,5,3,7,2)$ todos 5 ya que son los elementos necesarios para hacer el ciclo? y similarmente para el segundo ciclo $(4,6,9)$ ¿todos serían de orden 3?

Sé que esto es un poco complicado pero tengo algunas dudas de aclaración, gracias por toda la ayuda.

Answer 1

En el grupo simétrico $S_n$, la operación de grupo es la composición de permutaciones. La permutación $\beta\alpha$ es la permutación $\alpha$ seguida por $\beta$. Por ejemplo, $(\beta\alpha)(1)=\beta(\alpha(1))=\beta(5)=5.

Para responder a tu segunda pregunta, $1,2,...n$ no son elementos de $S_n$. Los elementos son $\textit{permutaciones}$ en $1,2,...n$.

Tienes razón en que el orden de una permutación que es un solo ciclo es la longitud de ese ciclo. Más generalmente, si una permutación es un producto de varios ciclos disjuntos, su orden es el mínimo común múltiplo de las longitudes de esos ciclos.

Answer 2

La permutación significa una función biyectiva en un conjunto hacia sí mismo. Cualquier ciclo como $\beta$ dado (14) significa $\beta(1)=4, \beta(4)=1$. Similarmente para cualquier ciclo definido de esa manera.
Ahora $\beta\alpha$ y $\beta\alpha\beta^{-1}$ pueden ser calculados como una simple composición de funciones. $\beta\alpha$=(15372469) y $\beta\alpha\beta^{-1}$=(169)(53724).
También podemos ver ahora que esta permutación puede formar un grupo bajo la composición. Entonces cualquier elemento tiene algún orden, lo que significa que $\beta^{n}$ = Identidad es decir $\beta$ $\beta$ $\beta$ $\beta$ .....$\beta$ (n veces) = Identidad. Esto también puede ser obtenido usando el tamaño del ciclo, pero para eso los ciclos disjuntos son necesarios. Incluso si no lo son, entonces tenemos que tomar la composición hasta que nos queden ciclos disjuntos.
Como $\beta\alpha$ es un ciclo único de 8. Su orden es 8. Si ves que $\beta\alpha\beta^{-1}$ tiene el mismo tipo de ciclo que la permutación original es porque ambos son elementos conjugados. Aquí tenemos 2 ciclos disjuntos de orden 3 y 5 por lo que podemos calcular el orden de la permutación combinada como el mcm de ambos, que es 15.
Hablando de tu última pregunta. En $S_9$ o cualquier grupo simétrico, el orden de cualquier elemento está relacionado con el tipo de ciclo. Así que incluso podemos predecir el orden posible en ese grupo. (¡Más fuerte que el teorema de Lagrange! Aquí en el Grupo Simétrico garantizamos que estos elementos de orden existen en ese grupo). Simplemente tenemos que contar el tipo de ciclos en ese grupo como
(1)
(2), (2)(2), (2)(2)(2), (2)(2)(2)(2), (2)(2)(2)(3).
(3), (3)(3), (3)(3)(3), (3)(4), (3)(4)(2)... Y así sucesivamente, esta es una lista tediosa, pero podemos contar esto directamente usando la partición. P(9)=30. A partir de cada ciclo listado arriba, podemos obtener el tamaño de los elementos posibles. Entonces 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12,....Así sucesivamente.