¿Cuál es el grupo fundamental de la $3$-variedad delimitada por un toro de género $2$?

Question

Como en la pregunta, sea $X$ la $3$-variedad delimitada por $\partial X$ que es un toro de género $2$. ¿Cuál es $\pi_1(X)$?

Observé que $\pi_1(\mathbb{R} ^3\backslash X) \cong \langle a, b | aba^{-1} b^{-1} \rangle$ pero no puedo ver ninguna relación de conmutador en $\pi_1(X) $. Sin embargo, también sé que $\pi_1(\partial X) $ tiene una relación entre sus cuatro generadores. Simplemente no puedo ver por qué eso no se traduce a $\pi_1(X)$.

Answer 1

Tu retracción de deformación es un ocho en figura (o, quizás más fácilmente, en una figura-$\theta$). Lo que significa que tiene un grupo fundamental $\langle a,b\rangle$.