Mostrar que $F[x]/q(x)= F[x]/p_1(x)\bigoplus \cdots \bigoplus F[x]/p_k(x)$

Question

Esta pregunta es de Herstein.

Sean $p_1(x), \dots, p_k(x)$ polinomios irreducibles en $F[x]$, donde $F$ es un campo. Sea $q(x)=p_1(x)\cdots p_k(x)$. Luego muestra que $F[x]/q(x)= F[x]/p_1(x)\bigoplus \cdots \bigoplus F[x]/p_k(x)$

¿Alguna pista para esto? Pensé que si sé que los ideales son co-maximales, entonces por el teorema del resto chino, habré terminado. ¿Pero puedo asumir que (ya que son irreducibles, $p_i(x), p_j(x)$ son relativamente primos, entonces por Bezout obtenemos que son co-maximales?

¿Es correcta mi idea? ¿Alguna solución?

Answer 1

Sea $q=p_1\cdots p_k$, y observe que dado que $p_i$ es irreducible para todo $i$, tenemos que $(p_i)+(p_j)=F[x]$. De hecho, esto se cumple para cualquier anillo de polinomios sobre un campo vea aquí por ejemplo.

Dado que los ideales $(p_i)$ son coprimos, tenemos que por el $(p_i\cdots p_k)=(p_i)\cap \cdots \cap (p_j)$, por tanto por el teorema chino del resto tenemos que hay un isomorfismo: $$F[x]/(q)\cong F[x]/(p_1)\oplus\cdots \oplus F[x]/(p_k)$$

Editar: así que sí, tu idea es correcta.