Orden mínimo posible de un grupo que contiene un subconjunto específico

Question

Supongamos que $G$ es un grupo. Supongamos que $A \subset G$ es un subconjunto de $G$ que cumple la siguiente condición: $\forall a \in A \exists ! b \in A$ tal que $[a, b] \neq e$. Supongamos que $|A| = 2n$. ¿Cuál es el orden mínimo posible de $G$?

Puedo construir dicho grupo de orden $2^{2n+1}$, llamado $G = \langle a_1, … , a_n, b_1, … , b_n, c| a_i^2 = b_i^2 = c^2 = [a_i, c]=[b_i, c]=[b_i,b_j] = [a_i, a_j] = e, [a_i, b_j] = c^{\delta_{ij}}\rangle$, donde $\delta$ representa la función delta de Kronecker, y $A = \{a_1, … ,a_n, b_1, … , b_n\}$.

Sin embargo, no sé si $2^{2n+1}$ es el orden mínimo posible, o si existe alguna mejor construcción…

Answer 1

He estado pensando en la misma pregunta, en relación a tu pregunta anterior. (Creo que deberías enlazarlo para explicar tu motivación)

La respuesta corta es no, ya que para $n=1$ podemos tomar $G=S_3$ y $A$ un par de involuciones. Pero creo que puede ser cierto para $n\geq 2$.

EDICIÓN: Aquí hay una prueba, por inducción sobre $n$.

Empezamos con el caso base, $n=2$. Para facilitar la notación, escribiré $A=\{a,b,x,y\}$, donde $[a,b]\neq 1\neq [x,y]$ (con los otros conmutando). También escribiré $C_a$ para el centralizador de $a$ en $G$, y así sucesivamente.

Claramente, podemos asumir que $G=\langle A\rangle$. Nota que $C_a\cap C_b$ es un grupo no abeliano (ya que contiene los elementos no conmutativos $x$ e $y$) así que $|C_a\cap C_b|\geq 6$. Similarmente $|C_x\cap C_y|\geq 6$. Si $Z(G)=1$, entonces $(C_a\cap C_b)\cap (C_x\cap C_y)=1$ y por lo tanto $|G|\geq |C_a\cap C_b||C_x\cap C_y|\geq 36$.

Por lo tanto, podemos asumir que $Z(G)\neq 1$. Esto implica que $C_a\cap C_b$ es un grupo no abeliano con centro no trivial, entonces $|C_a\cap C_b|\geq 8$. Ahora, $a\in C_a\setminus (C_a\cap C_b)$ y $b\in G\setminus C_a$, entonces $C_a\cap C_b. Consecuentemente $|G|\geq 4|C_a\cap C_b|\geq 32$.

Finalmente, el paso inductivo: asumir $n\geq 3$ y que el resultado es cierto para $n-1$. Elimina un par de generadores $a$ y $b$, para obtener $A'$ y $G':=\langle A'\rangle$. Por inducción