Si $f$ tiene una raíz de orden m, entonces $f'/f$ tiene un polo simple.

Question

Sea $f$ analítica en $D_r(z_0)$ y tiene un cero de orden $m$ en $z_0$. Necesito mostrar que $f'/f$ tiene un polo simple en $z_0. Esto es parte de un intento.

Como $f$ tiene un cero de orden $m$, existe una función analítica $g$ tal que $$f(z)=g(z)(z-z_0)^m,g(z_0)\neq0$$.

También para algún $R_1>0$ tal que $0

Sea $z\in D_R(z_0)$\ {$z_0$}. Entonces $$f'(z_0)=mg(z)(z-z_0)^{m-1}+g'(z)(z-z_0)^m \implies \frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{m}{z-z_0}+\frac{g'(z)}{g(z)}$$.

Estoy atascado aquí y no sé cómo terminar. ¿Y qué pasa en el caso de que $f$ sea idénticamente cero? Cualquier ayuda es apreciada. Gracias

Answer 1

Estás casi allí. Solo necesitas escribir $$ \dfrac{f'(z)}{f(z)}=\dfrac{h(z)}{z-z_0} $$ con $h$ holomorfa.

Alternativamente, solo necesitas probar que $$ (z-z_0)\dfrac{f'(z)}{f(z)} $$ es holomorfa.

El caso $f\equiv0$ no es relevante porque entonces $z_0$ sería un cero de orden infinito, no finito $m$.