En el dominio $D:[0,1]\times[0,1]\times[0,1], ~f(x,y,z)$ está definida como: $$ \begin{align*} &1~ \text{para}~ x~ \text{racional,}\\ &2~ \text{para}~ x~\text{irracional,}~0\leq y \leq \frac{1}{2}\\ &0~ \text{para}~ x~\text{irracional,}~\frac{1}{2}< y \leq 1. \end{align*} $$
La pregunta pide mostrar que la integral iterada $\int_0^1\int_0^1\int_0^1f(x,y,z)~dz~dy~dx$ existe, pero $f$ no es integrable.
Supongo que el valor para la integral iterada es simplemente 1, ya que $\mathbb{Q}$ es numerable pero $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ es no numerable, y por lo tanto es seguro asumir que $x$ tomará valores irracionales en la mayoría del intervalo $[0,1]$, con valores racionales negligibles.
Sin embargo, ¿sería esa una respuesta precisa?
Además, entiendo que $f$ no sería continua en ningún punto, pero no estoy seguro de cómo extender ese pensamiento para mostrar rigurosamente que $f$ no sería integrable.
Mi intento fue mostrar que una suma de Riemann iterada tomaría la forma de: $$\sum_i^n \frac{1}{n}~ f(x_i,y_i,z_i),$$ pero dado que hay infinitos valores tanto irracionales como racionales de $x$ en cualquier intervalo dado, $f(x_i,y_i,z_i)-f(x_{i+1},y_{i+1},z_{i+1})$ siempre daría un valor distinto de cero, lo cual por definición debería tender a $0$ si el número de iteraciones se acerca a infinito.
¡Gracias por cualquier ayuda!
