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¿Puedo usar la identidad de Weinstein-Aronszajn para mostrar que los valores propios de AB y BA son los mismos?

Tengo las matrices AKn×m y BKm×n.

¿Puedo usar la identidad de Weinstein-Aronszajn para mostrar que AB y BA tienen los mismos valores propios no nulos? Si es así, ¿cómo puedo lograr esto? Si no, ¿cuál sería una buena manera de demostrar mi problema?

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CJ Forex Puntos 81

Sí, podemos usar la identidad de Weinstein-Aronszajn det para mostrar que los autovalores no nulos de AB y BA coinciden.


Prueba Sea \lambda un autovalor no nulo de AB. Esto significa que \det (\lambda I_n - AB) = 0, sin embargo

\begin{align} \det (\lambda I_n - AB) &= \lambda^n\det\left(I_n - \left(\frac{1}{\lambda}A\right)B\right) \\ &= \lambda^n\det\left(I_m - B\left(\frac{1}{\lambda}A\right)\right) \\ &= \lambda^{n-m}\det\left(\lambda I_m - BA\right) \end{align}

y vemos que \det (\lambda I_m - BA) = 0 lo que significa que \lambda es un autovalor no nulo de BA. La demostración recíproca sigue por el argumento análogo.

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