¿Puedo usar la identidad de Weinstein-Aronszajn para mostrar que los valores propios de AB y BA son los mismos?

Question

Tengo las matrices $A \in \mathbb{K}^{n \times m}$ y $B\in \mathbb{K}^{m \times n}$.

¿Puedo usar la identidad de Weinstein-Aronszajn para mostrar que $AB$ y $BA$ tienen los mismos valores propios no nulos? Si es así, ¿cómo puedo lograr esto? Si no, ¿cuál sería una buena manera de demostrar mi problema?

Answer 1

Sí, podemos usar la identidad de Weinstein-Aronszajn $\det (I_n - AB) = \det (I_m - BA)$ para mostrar que los autovalores no nulos de $AB$ y $BA$ coinciden.

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Prueba Sea $\lambda$ un autovalor no nulo de $AB$. Esto significa que $\det (\lambda I_n - AB) = 0$, sin embargo

$$\begin{align} \det (\lambda I_n - AB) &= \lambda^n\det\left(I_n - \left(\frac{1}{\lambda}A\right)B\right) \\ &= \lambda^n\det\left(I_m - B\left(\frac{1}{\lambda}A\right)\right) \\ &= \lambda^{n-m}\det\left(\lambda I_m - BA\right) \end{align}$$

y vemos que $\det (\lambda I_m - BA) = 0$ lo que significa que $\lambda$ es un autovalor no nulo de $BA$. La demostración recíproca sigue por el argumento análogo.