¿Se puede obtener un líquido de Fermi mediante una transformación canónica?

Question

La suposición básica de la teoría del líquido de Fermi es la correspondencia uno a uno entre los estados de un gas de Fermi interactuante y los de un gas de cuasipartículas no interactuantes. La pregunta entonces es si se puede realizar una transformación canónica para transformar el hamiltoniano interactuante en uno no interactuante.

Observaciones:

• Se entiende que la descripción del líquido de Fermi es aproximada, por lo que se espera algún tipo de procedimiento aproximado siguiendo la línea de la transformación de Schrieffer-Wolff o las suposiciones genuinas utilizadas para hamiltonianos de espín (Holstein-Primakoff, Jordan-Wigner, etc.)
• Un pariente cercano del líquido de Fermi es el líquido de Luttinger, que se mapea exactamente en una colección de bosones no interactuantes. En este sentido, me gustaría enfatizar que estoy buscando una transformación canónica, similar a la bosonización canónica, como se describe en los artículos de revisión de Haldane, Voit o el libro de Giamarchi (en lugar de la bosonización más reciente a través de integrales de camino).

Answer 1

¡Parece que puede realizarse en términos de RPA (aproximación de fase aleatoria)! En esta configuración, uno debe considerar operadores de Bose para pares partícula-hueco, $$ c_{p,k}=a^{\dagger}_pa_{p+k},\quad c_{p,k}^{\dagger}=a_{p+k}^{\dagger}a_p,$$ donde $|p| y $|p+k|>p_F$. Luego, el operador de densidad de partículas puede expresarse en términos de los operadores de Bose introducidos, $$\rho_k=\sum_p(c_{p,k}+c_{-p,-k}^{\dagger}). \tag{*}$$ El Hamiltoniano exacto se ve así $$H=\sum_{p,\sigma}\zeta(p)a_{p,\sigma}^{\dagger}a_{p,\sigma}+\frac{1}{2}\sum_kV_k\rho_k\rho_{-k}\quad \zeta(p)=\frac{p^2}{2m}-\mu,$$ entonces en términos de los operadores $c$ y $c^{\dagger}$ introducidos tiene una "forma libre". El siguiente paso es considerar relaciones de conmutación y bla-bla. En el paso final es conveniente rotar operadores como $$\phi_{p,k}\equiv \phi_{-p,-k}^{\dagger}=\frac{1}{\sqrt{2\omega_{p,k}}}(c_{p,k}+c_{-p,-k}^{\dagger}),$$ $$\pi_{p,k}\equiv \pi_{-p,-k}^{\dagger}=\frac{i}{2}\sqrt{2\omega_{p,k}}(c_{p,k}-c_{-p,-k}^{\dagger}),$$ donde $$\omega_{p,k}=\frac{(p+k)^2}{2m}-\frac{p^2}{2m}.$$ En conclusión, el Hamiltoniano se convierte en $$H_{0}=\frac{1}{2}\sum_{p,k}\left(\pi_{p,k}^{\dagger}\pi_{p,k}+\omega_{p,k}^2\phi_{p,k}^{\dagger}\phi_{p,k}\right),$$ $$H_{\text{int}}=\sum_kV_k\left(\sum_p\sqrt{\omega_{p,k}}\phi^{\dagger}_{p,k}\right)\left(\sum_{p'}\sqrt{\omega_{p',k}}\phi_{p',k}\right).$$ La suma de $H_0$ y $H_{\text{int}}$ puede diagonalizarse con la ayuda de la transformación de Bogoliubov. El espectro resultante contiene dos componentes: 1) rama continua $\omega=\omega_{p,k}$ (coincide con el espectro no interactuante), 2) rama colectiva. La ley de dispersión para la rama colectiva está dada por $$1=V_k\sum_p\frac{\omega_{p,k}}{\omega^2-\omega_{p,k}^2},$$ que corresponde al modo plasmónico.

¿Dónde ocurre la aproximación? En la línea $(*)$. La denotación estricta es $$\rho_k = \sum_{p\in R_k}(c_{p,k}+c_{-p,-k}^{\dagger}), \tag{**}$$ donde $R_k$ es el dominio en forma de hoz que está definido por las condiciones $|p+k|>p_F$ y $|p|. En tal región, el operador $\rho_k$ es real, lo que significa que $\rho_k=\rho^{\dagger}_{-k}$. Tal aproximación $(**)$ implica que omitimos términos $a_p^{\dagger}a_{p+k}$ que se anulan al actuar sobre un estado con un solo par partícula-hueco (y sobre el estado base)