Pronto estaré enseñando Cálculo 1 y estoy tratando de encontrar algunas justificaciones para argumentos sospechosos que están muy extendidos.
En un curso estándar de Cálculo 1, se presentan a los estudiantes los siguientes conceptos.
Antiderivada: Una función $F$ se llama antiderivada de una función $f$ en un intervalo si $F'=f$ en ese intervalo.
Integral indefinida: la familia de todas las antiderivadas de una función $f$ se llama integral indefinida de $f$ y se denota por $\int f(x)dx$. Habiendo demostrado que la diferencia de cualquier dos antiderivadas de la misma función es constante, si $F$ es una antiderivada de $f$, entonces escribimos $\int f(x)dx=F(x)+C$, donde $C$ es una constante.
El problema que veo es que algunos libros de texto definen el diferencial de una manera muy vaga y luego fomentan el uso de la igualdad $dy=y'dx$ sin justificación.
Por ejemplo, al presentar la integración por partes todo comienza bien con la regla del producto de dos funciones diferenciables diferentes $u$ y $v$: $$(uv)'=u'v+uv'\implies uv'=(uv)'-u'v$$ lo que implica que $$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx\quad\quad\quad (A)$$
El problema comienza con la manipulación de los símbolos dummy en la notación de la integral indefinida por las sustituciones $dv=v'(x)dx$ y $du=u'(x)dx$ resultando en la fórmula popular: $$\int udv=uv-\int vdu\quad\quad\quad (B)$$
Cuando miro la definición de la integral indefinida, la igualdad (A) está bien definida pero (B) no lo está.
En la práctica: Calcula $\int 2x\cos(x)dx$.
Un estudiante que use (A) escribirá: sea $u(x)=2x$ y $v'(x)=\cos(x)$. Entonces $u'(x)=2$ y $v(x)=\int cos(x)dx=\sin(x)$ (aquí entendiendo que solo necesitamos 1 (cualquiera) antiderivada)
Luego por (A) tenemos: $\int 2x\cos(x)dx=2x\sin(x)-\int 2\sin(x)dx=2x\sin(x)+2\cos(x)+C$.
Cuando los estudiantes usan (B) usan $u=2x$ y $dv=\cos(x)dx$. Luego calculan $du=2dx$ y $v=\sin(x)$, y finalmente reemplazan las piezas en (B) como si fueran procesadores de TeX. Es decir, el método se basa en la sintaxis de (B), no en la definición de integral indefinida.
Pregunta: ¿cuál es la justificación matemática para aceptar el uso de (B)? La justificación debe estar al nivel de los estudiantes que toman Cálculo 1.
Observación: Tenga en cuenta que las sustituciones del tipo $dy=y'dx$ no son necesarias para las técnicas de sustitución de integración en un curso de Cálculo 1.
De hecho, si $F'=f$, entonces la regla de la cadena muestra: $$(F\circ g)'(x)=f(g(x))g'(x)$$ así que, por la definición de integral indefinida $$\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C$$, o equivalentemente, $$\int f(g(x))g'(x)dx=\left.\int f(u)du\right|_{u=g(x)}$$
Actualización: Gracias por las respuestas publicadas, me di cuenta de que mi preocupación estaba justificada: (B) está (aparentemente) solo justificado después de considerar contenidos que no son parte de un curso de cálculo 1, digamos, a través de integrales de Stieltjes o diferenciales. Gracias por las respuestas bien presentadas y por los comentarios y recursos presentados en las secciones de comentarios.
Soy consciente de que no sería bueno ocultar (B) a mis estudiantes ya que, como se señaló en los comentarios, los estudiantes se encontrarán con ello tarde o temprano y deberían estar preparados para ello. Por eso publiqué esta pregunta. Creo que presentaré y usaré principalmente (A) durante el curso. Mencionaré (B) indicando que es cierto pero que no tenemos las herramientas para probarlo y que por ahora se puede usar como un atajo de notación para (A), para que tengan una forma de justificar pasos que aparecen en muchos libros de cálculo, pasos que se presentan sin una justificación adecuada (y uno se pregunta por qué la gente no entiende las matemáticas).
