Encuentra la matriz $B$, tal que $\ker(B)$ = $\text{im}(A)$

Question

Dada una matriz $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$, ¿cómo puedo encontrar una matriz $B \in \mathbb{R}^{k \times n}$ tal que $\ker(B) = \text{im}(A)$?

Este método probablemente funcionaría, aplicando una matriz de transformación para cambiar a la base estándar, posteriormente. Sin embargo, si $m < n$ y $\ker(A) = \{ 0 \}$, este enfoque no debería funcionar. ¿Hay alguna alternativa?

Answer 1

Esto es imposible en general.

Considere cualquier matriz $3 \times 1$ $A$. Ahora estás pidiendo una matriz $1 \times 3$ $B$ tal que ker$(B)$ = im$(A)$. En particular, el núcleo de $B$ debería ser de dimensión 1. Pero eso es imposible, ya que el rango de $B$ es a lo sumo 1, y por lo tanto, debido al teorema del rango-nulidad, el núcleo de $B$ tiene al menos dimensión 2.

Answer 2

Supongamos que $A$ tiene rango $r$. Tomando la SVD con los valores singulares ordenados de mayor a menor, escribimos $A=U \Sigma_A V^T$. Aquí estoy siguiendo la convención de que $\Sigma_A$ es una matriz diagonal de $n \times m$.

Las primeras $r$ columnas de $U$ forman una base para el rango de $A$. Escribimos $U= (U_1 \ U_2)$ donde $U_1 \in \mathbb{R}^{n \times r}$ de modo que las columnas de $U_1$ forman una base para el rango de $A$. Luego definimos $$ B= W \Sigma_B \begin{pmatrix} U_2^T\\ U_1^T \end{pmatrix} $$ donde $\Sigma_B$ es una matriz $n \times n$ y diagonal, y sus últimas $r$ entradas diagonales son cero, y las demás entradas diagonales son distintas de cero y donde $W$ es cualquier matriz inyectiva. Entonces el núcleo de $B$ es igual al núcleo de $$\Sigma_B \begin{pmatrix} U_2^T\\ U_1^T \end{pmatrix} $$ lo cual se puede demostrar que es igual al rango de $A$. En particular, cualquier columna de $U_1$ está en el núcleo de $B$, y cualquier columna de $U_2$ es ortogonal al núcleo de $B$.

Answer 3

Esto es fácil, siempre que $\def\rk{\operatorname{rk}}k\geq n-\rk A$ (pero si $k es imposible, ya que $\rk B\leq k$ y por rango nulidad $n=\dim(\ker(B))+\rk B=\rk A+\rk B$ lo cual puede ser a lo sumo $\rk A+k).

Suponiendo eso, queremos encontrar $B$ tal que $BA=0$, en otras palabras, cada una de las $k$ filas de $B$ describe una forma lineal $\def\R{\Bbb R}\R^n\to\R$ que se anula en $\def\Im{\operatorname{Im}}\Im A$, y cuyas filas abarcan el espacio de todas esas formas lineales. Transponiendo la ecuación $BA=0$ obtenemos $A^t B^t=0$, por lo que las columnas de $B^t$ se encuentran en el núcleo de (la aplicación lineal con matriz) $A^t$, y abarcan ese núcleo. Por lo tanto, solo es necesario encontrar una base del espacio de soluciones del sistema homogéneo $A^t x=0$ para $x\in\R^n$ (cuya base tiene $n-\rk A^t=n-\rk A$ elementos, por rango nulidad), y tomar sus transpuestas como filas de $B$. En caso de que $k>n-\rk A$, simplemente se pueden completar con filas nulas para alcanzar el número requerido $k$.