Resultados matemáticos que generalmente eran aceptados pero luego fueron demostrados como incorrectos?

Question

Estoy dando una presentación sobre resultados matemáticos que fueron ampliamente aceptados durante un período de tiempo y luego demostrados incorrectos, o viceversa. Esta charla está dirigida a estudiantes universitarios que es probable que no hayan tomado cálculo. Ya tengo algunos ejemplos, pero me preguntaba si alguien conocía otros.

Hasta ahora, tengo las pruebas iniciales del problema de los 4 colores, y "una función continua es diferenciable casi en todas partes". Estos son ambos problemas que pueden explicarse de manera sencilla, y sus contraejemplos también pueden explicarse de manera relativamente simple. El problema con el que sigo encontrándome es que o bien la pregunta es demasiado avanzada, o el contraejemplo es demasiado avanzado. Me preguntaba si alguno de ustedes amables personas conocía ejemplos o recursos en los que pudiera investigar.

Cualquier aporte sería apreciado. ¡Gracias!

Answer 1

Copiando el párrafo crucial de mi respuesta aquí, referente a un resultado reclamado por Kurt Gödel en un papel de 1933:

Los matemáticos tomaron la palabra de Gödel, y demostraron resultados derivados de este, hasta mediados de la década de 1960, cuando Stål Aanderaa se dio cuenta de que Gödel se había equivocado, y el argumento que Gödel usó no funcionaría. En 1983, Warren Goldfarb demostró que no solo el argumento de Gödel era inválido, sino que su resultado reclamado era realmente falso.

Esto no es lo suficientemente elemental como para mostrarlo a tus estudiantes de cálculo, pero este ejemplo es realmente excepcional ya que fue aceptado durante tanto tiempo, es tan claramente incorrecto, y fue cometido por un matemático de primer nivel.

Ejemplos como este son muy inusuales. Las matemáticas en su conjunto tienen un excelente historial de no cometer este tipo de errores. La mayoría de los ejemplos que uno encuentra de "al principio creíamos que $x$, pero ahora sabemos que $x$ está mal" son, cuando se examinan más de cerca, en realidad ejemplos de "al principio creíamos que $x$, pero luego encontramos una mejor manera de entender todo el tema del que $x$ forma parte, y después de cambiarlo todo vimos que el estatus de $x$ había cambiado". Se puede ver un ejemplo de este tipo y decir "esto demuestra que a veces los matemáticos están equivocados" y pasar por alto completamente que está sucediendo algo mucho más sutil e interesante. Imre Lakatos tiene un libro completo, Pruebas y Refutaciones, sobre este proceso, que algunos de tus estudiantes podrían disfrutar.

Answer 2

Aunque no se trata de un "teorema/demostración" tradicional, el cálculo de $\pi$ realizado por William Shanks en 1873 hasta 707 decimales en realidad solo era correcto hasta 527 decimales, y este error fue demostrado en 1944.

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/William_Shanks

Answer 3

Un problema lo suficientemente simple como para ser explicado a estudiantes universitarios son los círculos de Malfatti: la solución proporcionada por Malfatti nunca es la óptima.

Answer 4

Este resultado no duró mucho tiempo, pero en 1847 un matemático de buena reputación afirmó haber demostrado el Último Teorema de Fermat, pero su prueba se basaba (erróneamente) en la factorización prima única en un anillo particular. Ver El Último Teorema de Fermat y la Objeción de Kummer