El lugar que usted es más probable encontrar holonomic y no holonomic sistemas es en la Langrangian y Hamiltonianos formulaciones de la mecánica. La definición de un holonomic sistema es aquel cuyo número de parámetros que son necesarios para especificar la configuración del sistema es igual al número de grados de libertad en el sistema. Para un no-holonomic sistema, hay más parámetros que los grados de libertad, donde el exceso en el número de parámetros es igual a la cantidad de no-integrable ecuaciones de restricción. Otra manera de describir un holonomic sistema es uno cuyas ecuaciones de restricción de integrar a las funciones de sólo las coordenadas, donde las limitaciones generalmente son funciones de las coordenadas, el tiempo de los derivados de las coordenadas, etc...La última definición se proporciona más de una definición rigurosa si la visión intuitiva no tenía sentido.
Después de googlear un poco, parece que GR es típicamente visto como no holonomic. Análisis de movimiento relativista en el nivel cuántico ( es decir, la utilización de quantum de los potenciales y de las representaciones ), se vuelve muy desordenado, y comienza a volverse increíblemente difícil de interpretar. Lo más cercano a una respuesta que he visto es no-ish es decir, hay Relativista sistemas donde las limitaciones que resultan de integrar las ecuaciones, pero en general no.
Como para el espacio de Fase. Voy a utilizar el de Lagrange ejemplo después de comparar a un espacio conocido. Echa un vistazo a $ R^{n} $ para $n=2$. Este es el espacio de dos dimensiones de los números reales. Podemos representar geométricamente esto con un gráfico que consta de dos ejes. Podemos etiquetar cada eje y de coordenadas. Si $ R^{n} $, con sus coordenadas, vamos a usar $ x $ y $ y $ , satisfacer ciertas condiciones, entonces podemos decir que $x$ y $y$ se extienden por el espacio, $R^{n}$. La condición que tenemos para la expansión del espacio es que $x$ y $y$ ejes son linealmente independientes, es decir no hay ningún componente de la $x$ eje contra el $y$ eje y viceversa. Más rigorosly: si $ \sum_{i}^{n} \alpha_nx_n = 0 $ para los escalares $ \alpha_n$ no todo se 0 donde $ x_1 = x $ y $ x_2 = y $. Estas coordenadas generar el espacio. Este es el puramente matemático aspecto del espacio de fase.
Todo un espacio de Fase es, es el espacio que se extendió por los parámetros que especifican su sistema. En el caso de la mecánica de Lagrange, si tengo $ \mathfrak{L}(\dot{q},p) $ el espacio de fase es el espacio generado por tomar una velocidad de $ \dot{q} $ a ser una coordenada para el espacio de fase, y el canónicas conjugadas impulso, $ p $ a ser el otro. En este caso, el sistema se especifica bien por estos dos parámetros, por lo que conforman el espacio de fase. Estos parámetros pueden tener explícita la dependencia de otros parámetros tales como el tiempo.
En lugar de apegarse a la norma coordenadas cartesianas, podemos generalizar nuestros resultados mediante la escritura de ecuaciones usando $q$ como una coordenada. De esta manera, $ q_i $ por $i=1,2,3$, puede ser coordenadas cartesianas $x,y,z$ o esférica, cilíndrica, curvilíneo, o cualquier otro tipo de coordenadas. En este caso particular, $ q $ puede ser considerada como la dimensión espacial de $x$.
Por ejemplo, tomar el oscilador armónico. Lo que hace el espacio de fase para que se parecen? Vamos a ver!
$$\mathfrak{L} = T - U $$ La energía cinética, $T$, nos llevan a ser de $ \frac{1}{2}m\dot{p}^2 $, donde la coordenada $ q $ sólo representa la posición en un unidimensional de la línea. El potencial de $ U $ nos llevan a ser de $ \frac{kq^2}{2} $. $$ \mathfrak{L} = \frac{1}{2}m\dot{p}^2 - \frac{kq^2}{2} $$ Que va a la derecha a la de Euler-Lagrange Ecuación: $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial \dot{q}} - \frac{\partial \mathfrak{L}}{\partial q} = 0 $$ Ahora el holonomic o no holonomic restricción de aquí que aplicamos es de $ q = \{q:q(t)\} $. Por supuesto, esto significa que en cualquier momento los derivados de la $q$ son también funciones de algún parámetro, es decir, $t$. Tomemos $t$ a ser el momento. Ahora si es o no la única restricción, y por lo tanto el sistema es holonomic o no es si o no la ecuación diferencial generada por el de Euler-Lagrange ecuación es capaz de ser integrado a un tiempo dependiente de la función, $q(t)$. Si tuviéramos más dimensiones o coordenadas espaciales, tendríamos más de ecuaciones diferenciales, uno para el movimiento en cada dirección especificada por las restricciones.
En este caso, tenemos $$ \ddot{q} + \frac{k}{m}q = 0 $$ ecuaciones Diferenciales de la forma $$ \ddot{q} + \alpha^{2}q = 0 $$ tienen soluciones de $$ q = a\cos{\alpha t} + B\sin{\alpha t} $$ Donde $a,B=contras.$ son constantes arbitrarias que el resultado de las condiciones iniciales. Esta ecuación se cumple para cualquier masiva de partículas en el potencial, así que vamos a decir a resolver nuestro valor inicial problemas de entrega $ A=1 , B=0 $. A continuación, una solución exacta es de $$ q = \cos{\omega t}\,\,,\,\,\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} $$ Así que desde que hemos sido capaces de determinar $q$ como una función explícita de $t$, hemos demostrado que nuestro restricción(s) y por lo tanto nuestro sistema, es holonomic. Desde esta ecuación de movimiento encarna todos los de la dinámica del sistema, podemos echar un vistazo en el espacio de fase. Cuáles son las coordenadas de este particular espacio de fase? Cualquiera que sea el Lagrangiano es una función explícita de. Estos son los parámetros que describen nuestro sistema, ya que el Lagrangiano es un funcional de estos parámetros destinado a definir dicho sistema.
Nuestro Lagrange era una función de $p$ y $\dot{q}$. Respectivamente, la posición y la velocidad. Yo creo que por razones históricas, sin embargo, ponemos la masa plazo, $m$, $\dot{q}$ para que nuestro Espacio de Fase es una función de p $ = m\dot{q} $ y $ q $.
Nuestro Espacio de Fase coordenadas son funciones de un único parámetro, por lo que naturalmente, esto nos lleva a ser capaces de crear un gráfico paramétrico de nuestro espacio de fase de la forma $$ < p(t),q(t)>$$ ( Paramétrico de Parcelas que consta de n funciones de 1 parámetro generar una curva en n dimensiones del espacio )
Mediante el cálculo de la ecuación de movimiento para $p$, sólo tenemos que resolver $$ p = m\dot{q} = -m\omega\sin{\omega t} $$ Dar $$ <-m\omega\sin{\omega t} , \cos{\omega t}>$$ Que de parcelas
![Phase Space]()
por $ m=\omega=1 $. Esto debe verse y sentirse un poco intuitiva de un sistema oscilante se crea un círculo en el espacio de fase. Ahora ya que el tiempo es nuestro parámetro, variable $t$ meramente varía en dónde está el punto en el círculo. Si te fijas, hay una cantidad que se mantiene la misma para todos los $t$: el radio del círculo. Más específicamente, el cuadrado del radio del círculo que resulta ser proporcional a la energía del sistema! Diferentes radios, diferentes energías. Que por supuesto desemboca en el concepto de la Hamiltoniana.
Uno de Lagrange usted podría estar interesado en es $$ \mathfrak{L} = -mc^{2}\sqrt{1 - \frac{\dot{p}^2}{c^2}} $$ Esto corresponde a una libre, relativista prueba de partículas. Escoger y elegir sus limitaciones ( es decir, las funciones de enchufe para $\dot{q}$ o su (anti)derivados. ) Y usted puede ser capaz de encontrar el más específico de la respuesta que usted está buscando. La mejor de las suertes, compañeros erudito!
