Mostrar que $d_1=\min(d(x,y),2)$ es un espacio métrico

Question

Demuestra que $d_1=\min(d(x,y),2)$ es un espacio métrico si se da que $d(x,y)$ es un espacio métrico.

Estoy atascado en la parte de la desigualdad del triángulo, para mostrar que

$d_1(x,z)\leqslant d_1(x,y)+d_1(y,z)$ es decir, para mostrar que:

$$\min(d(x,z),2)\leqslant\min(d(y,z),2)+\min(d(x,y),2)$$

No es una duplicado de esta pregunta de "fuerza bruta", tal vez sea una duplicado de esta, ¿podría alguien publicar otra respuesta antes de que cierren como duplicada? Prometo votar.

Answer 1

Usando que $d$ satisface la desigualdad triangular $$\min(d(x,z),2)\leqslant\min(d(y,z)+d(x,y),2)\leq \min(d(y,z),2)+\min(d(x,y),2),$$ donde el segundo paso es una propiedad de $\min$, y utiliza el hecho de que las distancias son positivas.

Answer 2

Hazlo en casos.

Considera $x, y, z$.

Si tanto $d(x,y) \ge 2$ como $d(y,z) \ge 2$ entonces $\min(d(x,y),2) + \min(d(y,z),2) \ge 2 \ge \min (d(x,z),2)$.

Si por otro lado $d(x,y) < 2; d(y,z) < 2$ entonces $\min(d(x,y),2) + \min(d(y,z),2) = d(x,y) + d(y,z) \ge d(x,z) \ge \min(d(x,y2),2)$.

Y eso es todo.