Regla del producto y del cociente para derivadas de Fréchet

Question

¿Alguien sabe si la regla del producto/cociente para derivadas de Fréchet aún se cumple? Por ejemplo, considera el operador de evaluación: $$\rho_x : (C[a,b],\|\cdot\|_\infty) \rightarrow (\mathbb{R},|\cdot|)$$ donde $\|\cdot\|_\infty$ es la sup-norma y $|\cdot|$ es la norma euclidiana. Entonces puedo definir un operador: $T$ para $f\in C[a,b]$ que actúa como $$T(f) = \frac{\rho_x (f)}{\rho_y(f)} = \frac{f(x)}{f(y)}$$ (Supón que el denominador no es cero). Sabiendo que la derivada de Fréchet de $\rho_x$ es $\rho_x$ en sí mismo en cualquier punto $f\in C[a,b]$, ¿qué podemos decir sobre la derivada de Fréchet de $T$?

Suposición: $DT(f)(\cdot) = \frac{\rho_y(f)\rho_x(\cdot) + \rho_x(f)\rho_y(\cdot) }{\rho_y(f)^2} \in L(C[a,b],\mathbb{R})$

¡Gracias por sus respuestas!

Answer 1

Esto es tan simple como demostrar la regla del cociente para funciones de valores reales. Supongamos $f(y) > 0$. \begin{align*}T(f+g) - T(f) - DT(f)\,g &= \frac{f(x) + g(x)}{f(y) + g(y)} - \frac{f(x)}{f(y)} - \frac{f(y) \, g(x) - f(x) \, g(y)}{f(y)^2}\\ &=\frac{f(x) \, f(y)^2 + g(x) \, f(y)^2 - f(x) \, f(y)^2 - f(x) \, f(y) \, g(y) - f(y)^2 \, g(x) - f(y) \, g(x) \, g(y) + f(x) \, g(y) \, f(y) + f(x) \, g(y)^2}{f(y)^2 \, (f(y) + g(y))}\\ &=\frac{- f(y) \, g(x) \, g(y) + f(x) \, g(y)^2}{f(y)^2 \, (f(y) + g(y))} \\ &= \mathcal{o}( \lVert g \rVert_\infty) \end{align*}