Un y solo un método para escribir A como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica

Question

Pregunta: Sea $A$ cualquier matriz cuadrada

(a) Demuestra que $A+A^T$ es simétrica y $A-A^T$ es antisimétrica.

(b) Demuestra que hay una y solo una manera de escribir A como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica

Para la parte (a), mi respuesta:

dado que $(A+A^T)^T=A^T+(A^T)^T=(A^T+A)$, entonces $A+A^T$ es simétrica

dado que $(A-A^T)^T=A^T-(A^T)^T=A^T-A=-(A-A^T)$, entonces $(A-A^T)$ es antisimétrica

Para la parte (b),

Supongamos que hay más de una manera de escribir A como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica

Sean $B_1$ y $B_2$ matrices simétricas , $C_1$ y $C_2$ matrices antisimétricas, tal que

$$A=B_1+C_1$$

$$A=B_2+C_2$$

la diferencia de las dos ecuaciones es $$C_2-C_1=B_1-B_2$$

Nótese que $C_2-C_1$ es una matriz antisimétrica y $B_1-B_2$ es una matriz simétrica.

Ocurre una contradicción ya que no existe una matriz que sea simultáneamente antisimétrica y simétrica [la matriz cero es un caso excepcional ya que implica que A=B+C es la única solución].

Por lo tanto, hay una y solo una manera de escribir A como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

¿Es una prueba correcta?

Answer 1

Para satisfacer a los puristas, necesitarás usar o demostrar el hecho de que una matriz cuadrada es simétrica y antisimétrica si y solo si es una matriz cero, y para mostrar que hay una única descomposición adecuada debes proporcionarla como $A=\frac{A+A^T}{2}+\frac{A-A^T}{2}$.

Otra estrategia que no requiere una demostración por contradicción es notar que las matrices simétrica $B$ y antisimétrica $C$ satisfacen $A=B+C$ si y solo si $A=B+C$ y $A^T=B-C$, es decir, si y solo si $B=\frac{A+A^T}{2}$ y $C=\frac{A-A^T}{2}$. Esto tiene la ventaja de que pruebas ambas partes (a lo sumo una, al menos una) en un solo paso.