Ecuaciones diferenciales - Uso correcto y ubicación de constantes c1, c2, etc.

Question

Tengo dificultades para discernir cómo utilizar las constantes de manera apropiada.

Para un problema de tarea $xy^2\frac{dy}{dx}=y^3-x^3$ donde $y(1)=2$, llego hasta $\frac{u^3}{3}+\ln|x|+C$ (usando sustitución).

Aquí es donde empiezo a tener problemas. ¿En qué lado del problema debo colocar la $C_1$? Mi instinto es ponerlo en el mismo lado que el resto de la ecuación, pero los pasos de la solución lo ponen en el otro lado del signo igual.

Luego, los pasos continúan sustituyendo de vuelta $y/x = u$ y después multiplicando por $3$ para eliminar el denominador en el primer término. Esto también se aplica a la constante $C_1.

Pero luego, al trabajar hacia la solución utilizando la condición inicial, el autor de la solución simplemente dice que $C_2=3C_1$ y reemplaza el $C_1$ por $C_2$, para una respuesta final de $y^3+3x^3\ln|x|=8x^3. La respuesta del libro corrobora esto.

¿Qué pasó con el $3C_1$? ¿No debería ser esta respuesta $24x^3$? ¡Ayuda!

Answer 1

No importa "qué lado", ya que ambos son equivalentes. Si sustituyes $u = y/x$, obtienes algo equivalente a. $$ u^2 u' + 1/x = 0$$ y al integrar esto, puedes escribir el resultado como cualquiera de estos dos: $$ \dfrac{u^3}{3} + \ln |x| + C_1 = 0$$ o $$ \dfrac{u^3}{3} + \ln |x| = C_2 $$ Los dos son equivalentes: $C_1 = -C_2$. Si lo haces de la primera manera, substituyendo de nuevo obtienes $$ \dfrac{y^3}{3 x^3} + \ln |x| + C_1 = 0$$ y al usar la condición inicial $x=1,y=2$ en esta ecuación tienes $8/3 + 0 + C_1 = 0$, así que $C_1 = -8/3$ y luego (multiplicando todo por $3 x^3$) $$ y^3 + 3 x^3 \ln |x| - 8 x^3 = 0$$ Si lo haces de la otra manera, obtendrás $C_2 = +8/3$ y luego $$ y^3 + 3 x^3 \ln |x| = 8 x^3