Valor de Arg(f(z)) después de la rotación de z

Question

Un problema elemental pide Arg($f(z)$) después de una sola rotación completa en sentido contrario a las manecillas del reloj del punto z alrededor del origen, comenzando en el punto z = 2 y tomando el ángulo allí como 0, con $f(z) = \sqrt{z^2+2z-3}.$

Tras trazar algunos puntos a mano y luego por computadora, encuentro que el valor final es Arg(f(z)) = 0. La respuesta en el texto es $\pi.$

Probablemente estoy pasando por alto algo obvio... gracias por cualquier insight.

Answer 1

Considera $g(z) = \sqrt{z}$. Después de completar una rotación completa en sentido contrario a las agujas del reloj, descubrirás que

$$g(z e^{i 2 \pi}) = g(z) e^{i \pi} $$

Es decir, una rotación de $2 \pi$ en $z$ produce una rotación de $\pi$ en $\sqrt{z}$. Reflexiona sobre esto en relación con tu función.