Funciones de $f$ tal que $f(z+1)-f(z)$ es holomorphic

Question

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb C\to\mathbb C$ tal que $f(z+1)-f(z)$ es todo.

Tengo curiosidad acerca de esto, porque una expresión algebraica analógico indica que si $f:\mathbb Z\to\mathbb N$ es tal que $f(m+1)-f(m)$ está de acuerdo con un polinomio en $m$ $m\gg0$ $f(m)$ está de acuerdo con un polinomio en $m$$m\gg0$.

Answer 1

El conjunto de todas las funciones de $f:\mathbb C\to\mathbb C$ tal que $f(z+1)−f(z)$ es todo es exactamente el conjunto de funcions $f(z)=e(z)+p(z)$ donde $e$ es todo y $p:\mathbb C\to\mathbb C$ $1$- periódico.

Prueba:

Ser $g(z)=f(z+1)-f(z)$. Desde $g$ es todo, de acuerdo a este Mathoverflow post (vinculados por mathcounterexamples.net en los comentarios), existe toda una función de $e$ tal que $g(z) = e(z+1) - e(z)$.

Ahora defina $p(z) = f(z) - e(z)$. Ahora $p(z+1) - p(z) = (f(z+1) - f(z)) - (e(z+1) - e(z)) = g(z) - g(z) = 0$, por lo $p(z)$ $1$- periódico.

Por lo tanto, cada función de $f$ con la propuesta de la propiedad puede ser escrito como la suma de una función toda $e$ $1$- función periódica $p$.

Por otro lado, si $e$ es arbitrario de la función y $p$ es arbitraria $1$-función periódica, a continuación, uno fácilmente se comprueba que $f(z)=e(z)+p(z)$ tiene la propiedad deseada.